Os dados a seguir referem-se ao número de poços de petróleo contabilizados em 8 fazendas, um determinado período do ano: 2-4-6-4-5-2-1-4. Para tais dados:
(a) Classifique o tipo de variável, justifique sua resposta. (b) Construa a distribuição de frequências.
(c) Calcule a média, a moda, a mediana e o desvio-padrão dos dados e interprete.
Passo 1
O enunciado fornece os números de poços de petróleo em 8 fazendas, no formato: 2-4-6-4-5-2-1-4. As perguntas são:
(a) Classificar o tipo de variável e justificar.
(b) Construir a distribuição de frequências.
(c) Calcular a média, a moda, a mediana e o desvio-padrão dos dados e interpretar os resultados.
Essa tabela é a distribuição de frequências pedida no item (b).]
Passo 3
Calcular a média aritmética (item (c)).
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i são os valores observados.
Somar os valores:
\sum_{i=1}^{8} x_i = 1+2+2+4+4+4+5+6 = 28.
Calcular:
\bar{x}=\frac{28}{8}=3,5.
Interpretação didática: a média \bar{x}=3,5 significa que, se distribuíssemos igualmente os poços entre as 8 fazendas, cada fazenda teria em média 3,5 poços. É uma medida de tendência central que resume o “centro” dos dados.
Passo 4
Determinar a moda (item (c)).
Definição: a moda é o(s) valor(es) com maior frequência absoluta na amostra.
Da tabela de frequências, o valor 4 tem frequência 3, a maior entre os valores. Logo a moda é
\text{moda}=4.
Interpretação: o valor mais comum de poços entre as fazendas é 4 (ou seja, 4 poços aparece mais vezes).
Passo 5
Determinar a mediana (item (c)).
Procedimento para mediana:
Colocar os dados em ordem crescente (já feito).
Se n for ímpar, mediana é o valor central. Se n for par, mediana é a média dos dois valores centrais.
Aqui n=8 (par). Os dois valores centrais são o 4^\text{o} e o 5^\text{o} elementos da lista ordenada:
\text{4º valor}=4,\qquad \text{5º valor}=4.
Logo
\text{mediana}=\frac{4+4}{2}=4.
Interpretação: metade das fazendas tem até 4 poços e metade tem pelo menos 4 poços.
Passo 6
Calcular o desvio-padrão e explicar a escolha da fórmula.
Escolha feita: vou usar a fórmula amostral s (denominador n-1), porque é o procedimento padrão quando os dados são vistos como uma amostra e quando se quer uma estimativa imparcial da variância populacional. Se os dados fossem explicitamente toda a população de interesse, poder-se-ia usar \sigma; no final mostro também o valor populacional para referência.
Calcular as diferenças em relação à média \bar{x}=3,5 e seus quadrados:
Interpretação dos resultados (didática e prática):
Média \bar{x}=3,5: representa o número médio de poços por fazenda. Dá uma ideia do “nível típico” de poços.
Moda =4: o valor mais frequente; a forma mais comum entre as fazendas é ter 4 poços.
Mediana =4: metade das fazendas tem 4 ou menos poços; metade tem 4 ou mais. Como mediana e moda iguais a 4, 4 é um centro robusto dos dados.
Desvio-padrão amostral s\approx1,690: indica a variabilidade típica dos valores em relação à média. Em termos práticos, um valor típico de diferença entre o número de poços de uma fazenda e a média é cerca de 1,69 poços. Comparando com a média, a variação relativa (coeficiente de variação) é
ou seja, há uma dispersão moderada em relação ao nível médio.
Observação sobre assimetria: \bar{x}=3,5 é um pouco menor que a mediana 4, o que sugere uma leve assimetria negativa (tendência para valores um pouco menores que a mediana puxarem a média para baixo), mas a diferença é pequena.
Dica prática para prova: sempre calcule primeiro a média para facilitar o cálculo do desvio-padrão (porque os quadrados dos desvios usam \bar{x}). Para dados pequenos como este, agrupar valores iguais e multiplicar a contribuição ao somatório facilita (por exemplo, os três 4s contribuem com 3\cdot 0,25 no somatório dos quadrados).
Resposta
(a) Variável quantitativa discreta (contagem de poços por fazenda).
(b) Distribuição de frequências: 1:\,f=1\;(0,125,\;12{,}5\%); 2:\,f=2\;(0,25,\;25{,}0\%); 4:\,f=3\;(0,375,\;37{,}5\%); 5:\,f=1\;(0,125,\;12{,}5\%); 6:\,f=1\;(0,125,\;12{,}5\%).
(c) Média \bar{x}=3,5. Moda =4. Mediana =4. Desvio-padrão amostral s=\sqrt{\dfrac{20}{7}}\approx1,690.