Exemplo 6: Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador de qualidade de um certo produto. Foram coletadas 2 amostras referente a 2 métodos de produção. Construa um intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois métodos. É improvável que as variâncias das populações sejam as mesmas.
Método 1 0,9 2,5 9,2 3,2 3,7 1,3 1,2 2,4 3,6 8,3
Método 2 5,3 6,3 5,5 3,6 4,1 2,7 2,0 1,5 5,1 3,5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: construir um intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois métodos, isto é um intervalo para \mu_1-\mu_2, onde \mu_1 é a média do Método 1 e \mu_2 a média do Método 2.
  • Informação extra do enunciado: é improvável que as variâncias das populações sejam as mesmas — isso indica que devemos usar o procedimento que não assume variâncias iguais (intervalo de Welch).
  • Dados (peguei diretamente da tabela do enunciado):
Método 1 (10 observações): 0,9,\;2,5,\;9,2,\;3,2,\;3,7,\;1,3,\;1,2,\;2,4,\;3,6,\;8,3.
Método 2 (10 observações): 5,3,\;6,3,\;5,5,\;3,6,\;4,1,\;2,7,\;2,0,\;1,5,\;5,1,\;3,5.
  • Número de observações: n_1=10 e n_2=10.
  • Vou construir um intervalo de confiança com nível de confiança 95\% (convenção usual quando o enunciado não especifica). Se quiser outro nível, posso refazer.

Passo 2

Fórmulas que vou usar (explicadas de forma simples).
  • A média amostral \bar x é a soma das observações dividida pelo número de observações:
\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui \bar x_1 será a média do Método 1 e \bar x_2 a média do Método 2.
  • A variância amostral s^2 (estimador sem viés) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2.
Isso mede a dispersão das observações em torno da média; s é a raiz quadrada de s^2.
  • Para diferença de médias quando variâncias são possivelmente diferentes usamos o intervalo de Welch:
(\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{\nu,\,1-\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}.
Aqui t_{\nu,\,1-\alpha/2} é o quantil da distribuição t com \nu graus de liberdade (para 95\% de confiança usamos \alpha=0,05). O erro padrão é \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}.
  • Os graus de liberdade \nu são aproximados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
\nu=\frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\dfrac{(s_1^2)^2}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{(s_2^2)^2}{n_2^2(n_2-1)}}.
Essa fórmula combina as incertezas das duas variâncias amostrais para obter um \nu efetivo.

Passo 3

Calcular as médias amostrais \bar x_1 e \bar x_2 passo a passo.
  • Soma das observações do Método 1: 0,9+2,5+9,2+3,2+3,7+1,3+1,2+2,4+3,6+8,3=36,3.
\bar x_1=\frac{36,3}{10}=3,63.
  • Soma das observações do Método 2: 5,3+6,3+5,5+3,6+4,1+2,7+2,0+1,5+5,1+3,5=39,6.
\bar x_2=\frac{39,6}{10}=3,96.
Portanto as médias amostrais são \bar x_1=3,63 e \bar x_2=3,96.

Passo 4

Calcular as variâncias amostrais s_1^2 e s_2^2 detalhadamente.
Vou calcular \sum (x_i-\bar x)^2 para cada método (mostro o resultado final das somas):
  • Para o Método 1, a soma dos quadrados das distâncias à média deu aproximadamente 74,601. Então
s_1^2=\frac{74,601}{n_1-1}=\frac{74,601}{9}\approx 8,289.
A raiz quadrada (desvio padrão amostral) é s_1\approx\sqrt{8,289}\approx 2,878.
  • Para o Método 2, a soma dos quadrados das distâncias à média deu aproximadamente 22,784. Então
s_2^2=\frac{22,784}{n_2-1}=\frac{22,784}{9}\approx 2,532.
E s_2\approx\sqrt{2,532}\approx 1,591.
Resumo numérico:
\;s_1^2\approx 8,289,\; s_1\approx 2,878;\quad s_2^2\approx 2,532,\; s_2\approx 1,591.

Passo 5

Calcular a estimativa da diferença de médias e o erro padrão.
  • Diferença das médias amostrais:
\bar x_1-\bar x_2=3,63-3,96=-0,33.
  • Erro padrão (EP):
\text{EP}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} =\sqrt{\frac{8,289}{10}+\frac{2,532}{10}} =\sqrt{0,8289+0,2532} =\sqrt{1,0821}\approx 1,040.
Portanto o erro padrão da diferença é aproximadamente 1,040.

Passo 6

Calcular os graus de liberdade \nu pela fórmula de Welch (mostrando a conta).
\nu=\frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\dfrac{(s_1^2)^2}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{(s_2^2)^2}{n_2^2(n_2-1)}}.
Substituindo números:
\text{numerador}=\left(0,8289+0,2532\right)^2=(1,0821)^2\approx 1,171.
\text{denominador}=\frac{(8,289)^2}{10^2\cdot 9}+\frac{(2,532)^2}{10^2\cdot 9} \approx\frac{68,713}{900}+\frac{6,412}{900}\approx 0,07635+0,00712\approx 0,08347.
\nu\approx\frac{1,171}{0,08347}\approx 14,03.
Assim usamos aproximadamente \nu\approx 14 graus de liberdade.

Passo 7

Obter o quantil t_{\nu,\,1-\alpha/2} e construir o intervalo.
  • Para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e precisamos de t_{0,975} com \nu\approx 14. O valor tabelado é aproximadamente
t_{14,\,0,975}\approx 2,145.
  • Margem de erro:
\text{ME}=t_{14,\,0,975}\times\text{EP}\approx 2,145\times 1,040\approx 2,231.
  • Intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2:
(\bar x_1-\bar x_2)\pm\text{ME} = -0,33 \pm 2,231.
Portanto os limites são
\text{limite inferior}= -0,33-2,231\approx -2,561, \qquad \text{limite superior}= -0,33+2,231\approx 1,901.

Passo 8

Interpretação rápida e motivação do método (pra prova).
  • Como o enunciado disse que é improvável que as variâncias sejam iguais, usar o intervalo de Welch é a escolha correta: ele não assume variâncias iguais e usa a aproximação de graus de liberdade pela fórmula de Welch–Satterthwaite.
  • O resultado indica que, com 95\% de confiança, a verdadeira diferença \mu_1-\mu_2 está entre -2,561 e 1,901. Como o intervalo contém zero, não há evidência, ao nível de 95\%, de diferença significativa entre as médias dos métodos (isso é uma interpretação estatística; para concluir algo definitivo pode-se complementar com um teste de hipótese).
  • Dica prática para a prova: calcule sempre \bar x e s^2 com cuidado; em muitos exercícios de concurso/prova n é pequeno e você deve usar t de Student. Se o enunciado disser que variâncias são diferentes, o procedimento é o de Welch. Mostre a conta de \nu (às vezes basta arredondar para o inteiro mais próximo para obter o t em tabelas).

Resposta

(-2,561,\;1,901)

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