Exemplo 6: Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador de qualidade de um certo produto. Foram coletadas 2 amostras referente a 2 métodos de produção. Construa um intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois métodos. É improvável que as variâncias das populações sejam as mesmas.
Método 1
0,9
2,5
9,2
3,2
3,7
1,3
1,2
2,4
3,6
8,3
Método 2
5,3
6,3
5,5
3,6
4,1
2,7
2,0
1,5
5,1
3,5
| Método 1 | 0,9 | 2,5 | 9,2 | 3,2 | 3,7 | 1,3 | 1,2 | 2,4 | 3,6 | 8,3 |
| Método 2 | 5,3 | 6,3 | 5,5 | 3,6 | 4,1 | 2,7 | 2,0 | 1,5 | 5,1 | 3,5 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: construir um intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois métodos, isto é um intervalo para
, onde é a média do Método 1 e a média do Método 2. - Informação extra do enunciado: é improvável que as variâncias das populações sejam as mesmas — isso indica que devemos usar o procedimento que não assume variâncias iguais (intervalo de Welch).
- Dados (peguei diretamente da tabela do enunciado):
Método 1 (10 observações):
.
Método 2 (10 observações):
.
- Número de observações:
e . - Vou construir um intervalo de confiança com nível de confiança
(convenção usual quando o enunciado não especifica). Se quiser outro nível, posso refazer.
Passo 2
Fórmulas que vou usar (explicadas de forma simples).
- A média amostral
é a soma das observações dividida pelo número de observações:
Aqui
será a média do Método 1 e
a média do Método 2.
- A variância amostral
(estimador sem viés) é
Isso mede a dispersão das observações em torno da média;
é a raiz quadrada de
.
- Para diferença de médias quando variâncias são possivelmente diferentes usamos o intervalo de Welch:
Aqui
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade (para
de confiança usamos
). O erro padrão é
.
- Os graus de liberdade
são aproximados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
Essa fórmula combina as incertezas das duas variâncias amostrais para obter um
efetivo.
Passo 3
Calcular as médias amostrais
e
passo a passo.
- Soma das observações do Método 1:
.
- Soma das observações do Método 2:
.
Portanto as médias amostrais são
e
.
Passo 4
Calcular as variâncias amostrais
e
detalhadamente.
Vou calcular
para cada método (mostro o resultado final das somas):
- Para o Método 1, a soma dos quadrados das distâncias à média deu aproximadamente
. Então
A raiz quadrada (desvio padrão amostral) é
.
- Para o Método 2, a soma dos quadrados das distâncias à média deu aproximadamente
. Então
E
.
Resumo numérico:
Passo 5
Calcular a estimativa da diferença de médias e o erro padrão.
- Diferença das médias amostrais:
- Erro padrão (EP):
Portanto o erro padrão da diferença é aproximadamente
.
Passo 6
Calcular os graus de liberdade
pela fórmula de Welch (mostrando a conta).
Substituindo números:
Assim usamos aproximadamente
graus de liberdade.
Passo 7
Obter o quantil
e construir o intervalo.
- Para
de confiança temos e precisamos de com . O valor tabelado é aproximadamente
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança para
:
Portanto os limites são
Passo 8
Interpretação rápida e motivação do método (pra prova).
- Como o enunciado disse que é improvável que as variâncias sejam iguais, usar o intervalo de Welch é a escolha correta: ele não assume variâncias iguais e usa a aproximação de graus de liberdade pela fórmula de Welch–Satterthwaite.
- O resultado indica que, com
de confiança, a verdadeira diferença está entre e . Como o intervalo contém zero, não há evidência, ao nível de , de diferença significativa entre as médias dos métodos (isso é uma interpretação estatística; para concluir algo definitivo pode-se complementar com um teste de hipótese). - Dica prática para a prova: calcule sempre
e com cuidado; em muitos exercícios de concurso/prova é pequeno e você deve usar t de Student. Se o enunciado disser que variâncias são diferentes, o procedimento é o de Welch. Mostre a conta de (às vezes basta arredondar para o inteiro mais próximo para obter o em tabelas).