Em uma granja foi observada a distribuição de frangos em relação ao peso, que era a seguinte:
Pesos ( gramas ) Frequência
960 \vdash 980 60
980 \vdash 1000 160
1000 \vdash 1020 280
1020 \vdash 1040 260
1040 \vdash 1060 160
1060 \vdash 1080 80
a) Qual a média da distribuição?
b) Qual a variância da distribuição?
c) Construa o histograma e o polígono de frequência.
d) Calcular o coeficiente de variação.
e) A distribuição é simétrica em relação aos dados? Calcular o coeficiente
f) Queremos dividir os frangos em quatro categorias, em relação ao peso, de modo que:
  • os 20 \% mais leves sejam da categoria D;
  • os 30 \% seguintes sejam da categoria C;
  • os 30 \% seguintes sejam da categoria B;
  • os 20 \% seguintes(ou seja, os 20 \% mais pesados) sejam da categoria A .
Quais os limites de peso entre as categorias A , B , C e D ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que tenho (peguei estes números da tabela fornecida).
O enunciado pede:
  • (a) a média da distribuição;
  • (b) a variância da distribuição;
  • (c) construir o histograma e o polígono de frequência;
  • (d) calcular o coeficiente de variação;
  • (e) responder se a distribuição é simétrica e calcular o coeficiente de assimetria;
  • (f) dividir os frangos em quatro categorias com cortes em 20\%, 20\%+30\%=50\%, 80\% e 100\% (ou seja, encontrar os limites de peso que separam D/C, C/B e B/A).
Dados (retirados da tabela do enunciado):
  • Classes e frequências:
    • [960,980): f_1=60
    • [980,1000): f_2=160
    • [1000,1020): f_3=280
    • [1020,1040): f_4=260
    • [1040,1060): f_5=160
    • [1060,1080): f_6=80
  • Observações úteis:
    • Largura das classes: h=20 (gramas).
    • Total de observações: N=\sum_{i=1}^{6} f_i = 60+160+280+260+160+80=1000.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular os pontos médios das classes (usados para média e desenho do polígono). Explico a ideia: o ponto médio de uma classe é onde “colocamos” a frequência quando a informação vem agrupada; é \text{ponto médio} = (\text{limite inferior}+\text{limite superior})/2é.
Cálculo dos pontos médios (peguei os limites das classes da tabela):
  • \;x_1 = \dfrac{960+980}{2} = 970.
  • \;x_2 = \dfrac{980+1000}{2} = 990.
  • \;x_3 = \dfrac{1000+1020}{2} = 1010.
  • \;x_4 = \dfrac{1020+1040}{2} = 1030.
  • \;x_5 = \dfrac{1040+1060}{2} = 1050.
  • \;x_6 = \dfrac{1060+1080}{2} = 1070.
Anote: vou usar estes x_i e f_i para a média, variância e o polígono de frequência.

Passo 3

Cálculo da média para dados agrupados. Fórmula (explicação): a média amostral para dados agrupados é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} f_i x_i,
onde f_i é a frequência da classe i, x_i é o ponto médio da classe i e N é o total de observações.
Calculo os produtos f_i x_i (peguei f_i e x_i das etapas anteriores):
\begin{aligned} 60\cdot970 &= 58\,200,\\\\ 160\cdot990 &= 158\,400,\\\\ 280\cdot1010 &= 282\,800,\\\\ 260\cdot1030 &= 267\,800,\\\\ 160\cdot1050 &= 168\,000,\\\\ 80\cdot1070 &= 85\,600. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i} f_i x_i = 58\,200+158\,400+282\,800+267\,800+168\,000+85\,600 = 1\,020\,800.
Portanto
\bar{x}=\frac{1\,020\,800}{1000}=1020{,}8\\ \text{gramas}.
Interpretação curta: o peso médio dos frangos, segundo os grupos dados, é \;1020{,}8 g.

Passo 4

Cálculo da variância (explicação do método escolhido): para dados agrupados é prático usar a identidade
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^k f_i x_i^2 - \bar{x}^2,
onde \sum f_i x_i^2 é a soma das frequências vezes os quadrados dos pontos médios.
Calculo dos x_i^2 e dos produtos f_i x_i^2 (peguei x_i e f_i anteriores):
\begin{aligned} 970^2 &= 940\,900,\quad &60\cdot940\,900 &= 56\,454\,000,\\\\ 990^2 &= 980\,100,\quad &160\cdot980\,100 &= 156\,816\,000,\\\\ 1010^2 &= 1\,020\,100,\quad &280\cdot1\,020\,100 &= 285\,628\,000,\\\\ 1030^2 &= 1\,060\,900,\quad &260\cdot1\,060\,900 &= 275\,834\,000,\\\\ 1050^2 &= 1\,102\,500,\quad &160\cdot1\,102\,500 &= 176\,400\,000,\\\\ 1070^2 &= 1\,144\,900,\quad &80\cdot1\,144\,900 &= 91\,592\,000. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i} f_i x_i^2 = 56\,454\,000+156\,816\,000+285\,628\,000+275\,834\,000+176\,400\,000+91\,592\,000 = 1\,042\,724\,000.
Dividindo por N:
\frac{1}{N}\sum f_i x_i^2 = \frac{1\,042\,724\,000}{1000}=1\,042\,724.
Agora a variância:
\sigma^{2}=1\,042\,724 - \bar{x}^2.
Como \bar{x}=1020{,}8,
\bar{x}^2 = 1020{,}8^{2}=1\,042\,032{,}64.
Logo
\sigma^{2}=1\,042\,724-1\,042\,032{,}64=691{,}36\\ (\text{gramas}^2).
O desvio padrão é
\sigma=\sqrt{691{,}36}\approx 26{,}296\\ \text{gramas}.
Dica prática para prova: usar a soma \sum f_i x_i^2 e a identidade acima costuma poupar trabalho em relação a calcular \sum f_i(x_i-\bar{x})^2 diretamente.

Passo 5

Construção do histograma e do polígono de frequência (instruções e valores numéricos para desenhar).
Histograma (explicação didática): o histograma traça retângulos sobre cada classe. Como todas as classes têm mesma largura h=20, é comum usar a altura proporcional à frequência absoluta; uma alternativa mais formal é usar densidade de frequência (frequência por unidade de classe), que é \text{densidade}_i = f_i / h. Para desenhar retângulos, usar a base igual à classe e a altura igual à densidade.
Cálculo das densidades (peguei f_i e h das etapas anteriores):
\begin{aligned} \text{densidade}_1 &= \frac{60}{20}=3,\\\ \text{densidade}_2 &= \frac{160}{20}=8,\\\ \text{densidade}_3 &= \frac{280}{20}=14,\\\ \text{densidade}_4 &= \frac{260}{20}=13,\\\ \text{densidade}_5 &= \frac{160}{20}=8,\\\ \text{densidade}_6 &= \frac{80}{20}=4. \end{aligned}
Para o eixo vertical do histograma use “frangos por grama” (ou apenas frequência, se preferir escala em frequência absoluta, já que as classes têm mesma largura).
Polígono de frequência (explicação didática): marca-se um ponto em cada ponto médio (x_i) com ordenada igual à frequência absoluta f_i (ou igual à densidade, se quisermos comparar visualmente com o histograma), e liga-se os pontos por segmentos de reta. Os pontos a traçar (peguei x_i e f_i antes) são:
(970,60),\\ (990,160),\\ (1010,280),\\ (1030,260),\\ (1050,160),\\ (1070,80).
Observação prática: para fechar o polígono é comum acrescentar dois pontos nos limites externos (por exemplo em x=950 e x=1090) com frequência zero, ligando o primeiro e o último ponto a esses extremos.

Passo 6

Cálculo do coeficiente de variação (explicação): o coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa e é dado por
\text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\%.
Substituindo os valores já calculados:
\text{CV}=\frac{26{,}296}{1020{,}8}\times100\%\approx 2{,}58\%.
Interpretação curta: a dispersão relativa dos pesos é pequena (cerca de 2{,}6\% do peso médio).

Passo 7

Responder se a distribuição é simétrica e calcular o coeficiente de assimetria (explicando o método escolhido).
Escolhi o coeficiente de assimetria de Pearson tipo 2 (também chamado de coeficiente de Pearson usando média e mediana),
\text{Assimetria} = \frac{3(\bar{x}-\tilde{x})}{\sigma},
porque a mediana para dados agrupados se obtém por interpolação dentro da classe mediana de forma simples e é uma medida robusta que permite interpretar sinal e intensidade da assimetria. (Outra opção seria usar (\bar{x}-\text{modo})/\sigma; se quiser posso calcular também.)
Calcular a mediana por interpolação (explicação): a posição da mediana é N/2. Como N=1000, a mediana é a observação número 500. Determinar em qual classe este posto se encontra e interpolar linearmente na classe.
Cumulativas (peguei f_i das etapas anteriores):
\begin{aligned} \text{cumulativa após 1ª classe} &= 60,\\\ \text{após 2ª} &= 60+160=220,\\\ \text{após 3ª} &= 220+280=500. \end{aligned}óªóªóª
Vemos que a observação 500 corresponde ao final da 3ª classe [1000,1020). Usando a fórmula da mediana por interpolação na classe i:
\tilde{x} = L + \frac{\left(\frac{N}{2} - F_{\text{antes}}\right)}{f_i}\,h,
onde L é limite inferior da classe mediana, F_{\text{antes}} é a cumulativa antes da classe, f_i a frequência da classe e h a largura.
Aqui a classe mediana é [1000,1020) com L=1000, F_{\text{antes}}=220, f_i=280, h=20. Então
\tilde{x}=1000+\frac{500-220}{280}\cdot20=1000+\frac{280}{280}\cdot20=1000+20=1020.
Agora o coeficiente de assimetria:
\text{Assimetria}=\frac{3(\bar{x}-\tilde{x})}{\sigma}=\frac{3(1020{,}8-1020)}{26{,}296}=\frac{2{,}4}{26{,}296}\approx 0{,}0913.
Interpretação: o coeficiente é positivo e pequeno ( \approx0{,}091), indicando uma ligeira assimetria à direita (mais cauda à direita), portanto a distribuição não é perfeitamente simétrica, mas a assimetria é fraca.

Passo 8

Dividir os frangos em quatro categorias conforme percentuais solicitados e achar os limites (explicação do método de percentil por interpolação): para uma posição k (por exemplo 20\% corresponde à observação k=0{,}20\cdot N), localizar a classe que contém a observação k e interpolar linearmente na classe.
As posições desejadas (peguei N=1000):
\begin{aligned} 20\% &\Rightarrow k_1=0{,}20\cdot1000=200,\\\\ 50\% &\Rightarrow k_2=0{,}50\cdot1000=500,\\\\ 80\% &\Rightarrow k_3=0{,}80\cdot1000=800. \end{aligned}
Agora localizo cada k nas cumulativas (peguei as cumulativas do Passo 7 e continuei):
  • Para k_1=200: cumulativa após 1ª classe = 60, após 2ª = 220. Então k_1 está na 2ª classe [980,1000) com L=980, F_{\text{antes}}=60, f=160, h=20.
    \text{corte}_{20\%}=980+\frac{200-60}{160}\cdot20=980+\frac{140}{160}\cdot20=980+17{,}5=997{,}5\\ \text{g}.
  • Para k_2=500: já calculado no Passo 7, está exatamente no fim da 3ª classe; pela interpolação obtemos \;1020 g (limite superior da 3ª classe).
  • Para k_3=800: cumulativa após 3ª = 500, após 4ª = 760, após 5ª = 920. Logo k_3 está na 5ª classe [1040,1060) com L=1040, F_{\text{antes}}=760, f=160, h=20.
    \text{corte}_{80\%}=1040+\frac{800-760}{160}\cdot20=1040+\frac{40}{160}\cdot20=1040+5=1045\\ \text{g}.
Interpretando os cortes como limites entre categorias (D mais leves, A mais pesados):
  • Corte entre D e C: 997{,}5 g.
  • Corte entre C e B: 1020 g.
  • Corte entre B e A: 1045 g.
Portanto as categorias ficam, por exemplo:
  • D: pesos \le 997{,}5 g (os 20\% mais leves),
  • C: 997{,}5 < \text{peso} \le 1020 g (próximos 30\%),
  • B: 1020 < \text{peso} \le 1045 g (próximos 30\%),
  • A: \text{peso} > 1045 g (os 20\% mais pesados).

Resposta

(a) \bar{x}=1020{,}8\\ \text{g}
(b) \sigma^{2}=691{,}36\\ \text{g}^2 \;(\sigma\approx26{,}296\\ \text{g})
(c) Histograma: retângulos nas classes [960,980),[980,1000),[1000,1020),[1020,1040),[1040,1060),[1060,1080) com densidades \{3,8,14,13,8,4\} (frangos por grama). Polígono de frequência: pontos (970,60),(990,160),(1010,280),(1030,260),(1050,160),(1070,80) ligados por segmentos.
(d) \text{CV}\approx2{,}58\%
(e) Não exatamente simétrica; coeficiente de assimetria (Pearson tipo 2) \approx0{,}0913 (assimetria positiva pequena)
(f) Limites entre categorias:
  • D / C: 997{,}5\\ \text{g}
  • C / B: 1020\\ \text{g}
  • B / A: 1045\\ \text{g}

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