Em uma granja foi observada a distribuição de frangos em relação ao peso, que era a seguinte:
Pesos
gramas
Frequência
60
160
280
260
160
80
a) Qual a média da distribuição?
b) Qual a variância da distribuição?
c) Construa o histograma e o polígono de frequência.
d) Calcular o coeficiente de variação.
e) A distribuição é simétrica em relação aos dados? Calcular o coeficiente
f) Queremos dividir os frangos em quatro categorias, em relação ao peso, de modo que:
- os
mais leves sejam da categoria D;
- os
seguintes sejam da categoria C;
- os
seguintes sejam da categoria B;
- os
seguintes(ou seja, os
mais pesados) sejam da categoria A .
Quais os limites de peso entre as categorias A , B , C e D ?
| Pesos
|
Frequência |
|
|
60 |
|
|
160 |
|
|
280 |
|
|
260 |
|
|
160 |
|
|
80 |
b) Qual a variância da distribuição?
c) Construa o histograma e o polígono de frequência.
d) Calcular o coeficiente de variação.
e) A distribuição é simétrica em relação aos dados? Calcular o coeficiente
f) Queremos dividir os frangos em quatro categorias, em relação ao peso, de modo que:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que tenho (peguei estes números da tabela fornecida).
O enunciado pede:
- (a) a média da distribuição;
- (b) a variância da distribuição;
- (c) construir o histograma e o polígono de frequência;
- (d) calcular o coeficiente de variação;
- (e) responder se a distribuição é simétrica e calcular o coeficiente de assimetria;
- (f) dividir os frangos em quatro categorias com cortes em
, , e (ou seja, encontrar os limites de peso que separam D/C, C/B e B/A).
Dados (retirados da tabela do enunciado):
-
Classes e frequências:
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
-
Observações úteis:
- Largura das classes:
(gramas). - Total de observações:
- Largura das classes:
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular os pontos médios das classes (usados para média e desenho do polígono). Explico a ideia: o ponto médio de uma classe é onde “colocamos” a frequência quando a informação vem agrupada; é
.
Cálculo dos pontos médios (peguei os limites das classes da tabela):
Anote: vou usar estes
e
para a média, variância e o polígono de frequência.
Passo 3
Cálculo da média para dados agrupados. Fórmula (explicação): a média amostral para dados agrupados é
onde
é a frequência da classe
,
é o ponto médio da classe
e
é o total de observações.
Calculo os produtos
(peguei
e
das etapas anteriores):
Somando:
Portanto
Interpretação curta: o peso médio dos frangos, segundo os grupos dados, é
g.
Passo 4
Cálculo da variância (explicação do método escolhido): para dados agrupados é prático usar a identidade
onde
é a soma das frequências vezes os quadrados dos pontos médios.
Calculo dos
e dos produtos
(peguei
e
anteriores):
Somando:
Dividindo por
:
Agora a variância:
Como
,
Logo
O desvio padrão é
Dica prática para prova: usar a soma
e a identidade acima costuma poupar trabalho em relação a calcular
diretamente.
Passo 5
Construção do histograma e do polígono de frequência (instruções e valores numéricos para desenhar).
Histograma (explicação didática): o histograma traça retângulos sobre cada classe. Como todas as classes têm mesma largura
, é comum usar a altura proporcional à frequência absoluta; uma alternativa mais formal é usar densidade de frequência (frequência por unidade de classe), que é
. Para desenhar retângulos, usar a base igual à classe e a altura igual à densidade.
Cálculo das densidades (peguei
e
das etapas anteriores):
Para o eixo vertical do histograma use “frangos por grama” (ou apenas frequência, se preferir escala em frequência absoluta, já que as classes têm mesma largura).
Polígono de frequência (explicação didática): marca-se um ponto em cada ponto médio
com ordenada igual à frequência absoluta
(ou igual à densidade, se quisermos comparar visualmente com o histograma), e liga-se os pontos por segmentos de reta. Os pontos a traçar (peguei
e
antes) são:
Observação prática: para fechar o polígono é comum acrescentar dois pontos nos limites externos (por exemplo em
e
) com frequência zero, ligando o primeiro e o último ponto a esses extremos.
Passo 6
Cálculo do coeficiente de variação (explicação): o coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa e é dado por
Substituindo os valores já calculados:
Interpretação curta: a dispersão relativa dos pesos é pequena (cerca de
do peso médio).
Passo 7
Responder se a distribuição é simétrica e calcular o coeficiente de assimetria (explicando o método escolhido).
Escolhi o coeficiente de assimetria de Pearson tipo 2 (também chamado de coeficiente de Pearson usando média e mediana),
porque a mediana para dados agrupados se obtém por interpolação dentro da classe mediana de forma simples e é uma medida robusta que permite interpretar sinal e intensidade da assimetria. (Outra opção seria usar
; se quiser posso calcular também.)
Calcular a mediana por interpolação (explicação): a posição da mediana é
. Como
, a mediana é a observação número
. Determinar em qual classe este posto se encontra e interpolar linearmente na classe.
Cumulativas (peguei
das etapas anteriores):
Vemos que a observação
corresponde ao final da 3ª classe
. Usando a fórmula da mediana por interpolação na classe
:
onde
é limite inferior da classe mediana,
é a cumulativa antes da classe,
a frequência da classe e
a largura.
Aqui a classe mediana é
com
,
,
,
. Então
Agora o coeficiente de assimetria:
Interpretação: o coeficiente é positivo e pequeno (
), indicando uma ligeira assimetria à direita (mais cauda à direita), portanto a distribuição não é perfeitamente simétrica, mas a assimetria é fraca.
Passo 8
Dividir os frangos em quatro categorias conforme percentuais solicitados e achar os limites (explicação do método de percentil por interpolação): para uma posição
(por exemplo
corresponde à observação
), localizar a classe que contém a observação
e interpolar linearmente na classe.
As posições desejadas (peguei
):
Agora localizo cada
nas cumulativas (peguei as cumulativas do Passo 7 e continuei):
-
Para
: cumulativa após 1ª classe = , após 2ª = . Então está na 2ª classe com , , , . -
Para
: já calculado no Passo 7, está exatamente no fim da 3ª classe; pela interpolação obtemos g (limite superior da 3ª classe). -
Para
: cumulativa após 3ª = , após 4ª = , após 5ª = . Logo está na 5ª classe com , , , .
Interpretando os cortes como limites entre categorias (D mais leves, A mais pesados):
- Corte entre D e C:
g. - Corte entre C e B:
g. - Corte entre B e A:
g.
Portanto as categorias ficam, por exemplo:
- D: pesos
g (os mais leves), - C:
g (próximos ), - B:
g (próximos ), - A:
g (os mais pesados).
Resposta
(a)
(b)
(c) Histograma: retângulos nas classes
com densidades
(frangos por grama). Polígono de frequência: pontos
ligados por segmentos.
(d)
(e) Não exatamente simétrica; coeficiente de assimetria (Pearson tipo 2)
(assimetria positiva pequena)
(f) Limites entre categorias:
- D / C:
- C / B:
- B / A: