Um engenheiro de computação coletou o tempo de resposta (em milissegundos) de um servidor web para 35 requisições aleatórias durante um pico de tráfego. Segue abaixo os dados ordenados são:
25,27,28,29,30,30,30,30,31,31,32,33,34,35,35,36,36,37,38,40,40,41, 42,43,44,45,46,48,49,50,51,52,53,55,58.
a) Construa a tabela de frequência com classes com as seguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcule as medidas de posição.
c) 68 \% das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a quanto?
d) 25 \% das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e a partir do valor encontrado classifique quanto a assimetria.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Dados ordenados (tempos em milissegundos). Peguei estes números do enunciado:
25,\;27,\;28,\;29,\;30,\;30,\;30,\;30,\;31,\;31,\;32,\;33,\;34,\;35,\;35,\;36,\;36,\;37,\;38,\;40,\;40,\;41,\;42,\;43,\;44,\;45,\;46,\;48,\;49,\;50,\;51,\;52,\;53,\;55,\;58.
  • Tamanho da amostra: \;n=35.
Perguntas (resumidas):
a) Construir tabela de frequências com classes contendo: frequência simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcular medidas de posição.
c) Determinar o valor tal que 68\% das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a esse valor.
d) Determinar o valor tal que 25\% das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a esse valor.
e) Calcular medidas de dispersão.
f) Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e classificar a assimetria.

Passo 2

Escolha das classes e construção da tabela de frequências (passo didático).
  • Como temos n=35 e amplitude dos dados \min=25, \max=58, amplitude total R=58-25=33. Pela regra de Sturges obtemos cerca de k\approx6 classes. Para facilitar, escolhi classes de amplitude 6 que cobrem os dados sem sobreposição:
    • [25,30], [31,36], [37,42], [43,48], [49,54], [55,60].
  • Definição de convenção: cada classe inclui ambos os extremos inteiros conforme escrito (por exemplo, a classe [25,30] contém 25,26,\dots,30). Com os dados inteiros fornecidos isso evita ambiguidade.
  • Ponto médio (para cada classe) é calculado por:
\text{ponto médio } x_i = \frac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}.é
Agora contamos os dados em cada classe e calculamos as frequências.
  • Contagens por classe (peguei os valores da lista ordenada e coloquei em cada classe):
    • [25,30]: 25,27,28,29,30,30,30,30 \Rightarrow f_1=8.
    • [31,36]: 31,31,32,33,34,35,35,36,36 \Rightarrow f_2=9.
    • [37,42]: 37,38,40,40,41,42 \Rightarrow f_3=6.
    • [43,48]: 43,44,45,46,48 \Rightarrow f_4=5.
    • [49,54]: 49,50,51,52,53 \Rightarrow f_5=5.
    • [55,60]: 55,58 \Rightarrow f_6=2.
  • Verificação: 8+9+6+5+5+2=35=n, OK.

Passo 3

Montagem da tabela de frequência (valores calculados).
  • Vou listar para cada classe: classe, f_i (absoluta), f_i/n (relativa), F_i (acumulada absoluta), F_i/n (acumulada relativa), ponto médio x_i.
  • Cálculos das relativas: f_i/n com n=35. Cálculos das acumuladas: somas sucessivas dos f_i.
Tabela (cada linha corresponde a uma classe):
\begin{array}{lrrrrr} \text{Classe} & f_i & f_i/n & F_i & F_i/n & x_i\\hline [25,30] & 8 & 8/35=0,2286 & 8 & 8/35=0,2286 & 27,5\\\ [31,36] & 9 & 9/35=0,2571 & 17 & 17/35=0,4857 & 33,5\\\ [37,42] & 6 & 6/35=0,1714 & 23 & 23/35=0,6571 & 39,5\\\ [43,48] & 5 & 5/35=0,1429 & 28 & 28/35=0,8000 & 45,5\\\ [49,54] & 5 & 5/35=0,1429 & 33 & 33/35=0,9429 & 51,5\\\ [55,60] & 2 & 2/35=0,0571 & 35 & 35/35=1,0000 & 56,5\\hline \text{Total} & 35 & 1,0000 & & & \\\ \end{array}
Observações rápidas sobre a tabela (didática):
  • Os pontos médios foram obtidos por \displaystyle x_i=\frac{\text{lim. inf.}+\text{lim. sup.}}{2}.
  • As frequências relativas somam 1. As acumuladas crescem até n ou 1.

Passo 4

Medidas de posição — média aritmética (aula rápida + cálculo).
  • Fórmula da média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. Aqui x_i são os valores observados e n o tamanho da amostra.
  • Calculei a soma dos dados (peguei cada número da lista dada):
\sum_{i=1}^{35} x_i = 1364.
  • Logo
\bar{x}=\frac{1364}{35} \approx 38,9714286.
  • Arredondando para duas casas: \bar{x}\approx 38,97\\ \text{ms}.
Explicação prática: a média é o “centro de massa” dos valores; some tudo e divida por quantos valores existem.

Passo 5

Mediana e quartis (aula + cálculo exato com dados ordenados).
  • Como temos n=35 (ímpar), a mediana é o valor na posição \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{36}{2}=18-ésima observação na série ordenada.
  • Peguei a lista ordenada e localizei a 18ª observação: é x_{18}=37. Logo a mediana é 37\\ \text{ms}.
  • Quartis (método simples usado aqui: posição p(n+1)):
    • Primeiro quartil Q_1: posição 0,25\cdot(n+1)=0,25\cdot36=9\Rightarrow x_9=31. Então Q_1=31.
    • Terceiro quartil Q_3: posição 0,75\cdot36=27\Rightarrow x_{27}=46. Então Q_3=46.
  • Interquartile range (IQR): Q_3-Q_1=46-31=15.

Passo 6

Moda (aula + cálculo).
  • Moda é o valor que aparece com maior frequência nas observações. Observando os dados, o valor mais frequente é 30 que aparece 4 vezes.
  • Portanto, a moda é 30\\ \text{ms}.

Passo 7

Resposta da parte (c): encontrar o valor tal que 68\% das requisições têm tempo menor ou igual (percentil 68).
  • Para percentis com dados ordenados usamos a posição L=p\,(n+1). Aqui p=0,68.
L=0,68\cdot(35+1)=0,68\cdot36=24,48.
  • A posição 24,48 fica entre a 24^\text{a} e a 25^\text{a} observação. Peguei os valores:
    • x_{24}=43,\quad x_{25}=44.
  • Interpolando linearmente:
P_{68}\approx x_{24} + (0,48)\,(x_{25}-x_{24}) = 43 + 0,48\cdot(44-43)=43+0,48=43,48\\ \text{ms}.
Explicação: a interpolação assume escala contínua entre observações adjacentes — é um método prático quando a posição não é inteira.

Passo 8

Resposta da parte (d): encontrar o valor tal que 25\% das requisições têm tempo superior ou igual a esse valor.
  • “25% das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?” equivale a: qual o valor tal que a parcela acima é 0,25. Isso corresponde ao percentil p tal que 1-p=0,25\Rightarrow p=0,75 (ou seja, o 75^\text{o} percentil), porque 25\% estão acima do 75^\text{o} percentil.
  • Calculamos a posição para p=0,75:
L=0,75\cdot36=27.
  • Como L é inteiro, o 75^\text{o} percentil é x_{27}.
  • Peguei o dado: x_{27}=46.
  • Logo, 25\% das requisições têm tempo de resposta \ge 46\\ \text{ms}.

Passo 9

Medidas de dispersão (aula + cálculos: amplitude, variância, desvio padrão, IQR).
  • Amplitude (range):
\text{range}=\max-\min=58-25=33\\ \text{ms}.
  • Para variância e desvio padrão amostral usamos as fórmulas:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \quad\text{e}\quad s=\sqrt{s^2}.
  • Cálculo mais prático usando soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{35} x_i^2 = 55904, \qquad \bar{x}=\frac{1364}{35}.
  • Usei a identidade
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2.
  • Computando:
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 55904 - \frac{1364^2}{35} \approx 2746,9714286.
  • Dividindo por n-1=34:
s^2 \approx \frac{2746,9714286}{34}\approx 80,7891585.
  • Desvio padrão amostral:
s\approx\sqrt{80,7891585}\approx 8,9883\\ \text{ms}.
  • Interquartile range (já calculado no Passo 5): IQR=Q_3-Q_1=15\\ \text{ms}.
Resumo das medidas de dispersão:
  • Amplitude = 33\\ \text{ms}.
  • Variância amostral s^2\approx 80,79\\ \text{ms}^2.
  • Desvio padrão amostral s\approx 8,99\\ \text{ms}.
  • IQR=15\\ \text{ms}.

Passo 10

Coeficiente de assimetria de Pearson (escolha do método e cálculo).
  • Existem duas fórmulas de Pearson frequentemente citadas:
    1. Pearson 1: \displaystyle \text{Sk}_1=\frac{\bar{x}-\text{moda}}{s}.
    2. Pearson 2 (mais usado em estatística descritiva): \displaystyle \text{Sk}_2=\frac{3(\bar{x}-\text{mediana})}{s}.
  • Escolhi usar a fórmula de Pearson 2 ( \text{Sk}_2) porque é mais robusta quando a moda é pouco informativa ou quando a distribuição é discreta; além disso muitos cursos pedem explicitamente a forma com mediana. Vou explicar e calcular ambas rapidamente por didática.
Dados necessários (já obtidos):
\bar{x}\approx 38,9714286,\quad \text{mediana}=37,\quad \text{moda}=30,\quad s\approx 8,988286.
  • Pearson 2:
\text{Sk}_2=\frac{3(\bar{x}-\text{mediana})}{s}=\frac{3(38,9714286-37)}{8,988286}\approx\frac{5,9142858}{8,988286}\approx 0,6579.
Arredondando: \text{Sk}_2\approx 0,658.
  • (Para referência) Pearson 1:
\text{Sk}_1=\frac{\bar{x}-\text{moda}}{s}=\frac{38,9714286-30}{8,988286}\approx\frac{8,9714286}{8,988286}\approx 0,998.
  • Interpretação e classificação (regra de bolso):
    • |\text{Sk}|<0,5: aproximadamente simétrica;
    • 0,5\le \text{Sk}<1: assimetria positiva moderada;
    • \text{Sk}\ge1: assimetria positiva acentuada.
  • Como \text{Sk}_2\approx 0,658 (positivo e entre 0,5 e 1), classificamos a distribuição como tendo assimetria positiva moderada (ou seja, cauda à direita).

Resposta

a) Tabela de frequências (classe, f_i, f_i/n, F_i, F_i/n, ponto médio):
[25,30] \;8\;\;0,2286\;\;8\;\;0,2286\;\;27,5
[31,36] \;9\;\;0,2571\;\;17\;\;0,4857\;\;33,5
[37,42] \;6\;\;0,1714\;\;23\;\;0,6571\;\;39,5
[43,48] \;5\;\;0,1429\;\;28\;\;0,8000\;\;45,5
[49,54] \;5\;\;0,1429\;\;33\;\;0,9429\;\;51,5
[55,60] \;2\;\;0,0571\;\;35\;\;1,0000\;\;56,5
b) Medidas de posição:
Média \bar{x}=\dfrac{1364}{35}\approx 38,97\\ \text{ms}
Mediana =37\\ \text{ms}
Moda =30\\ \text{ms}
Q_1=31\\ \text{ms},\quad Q_3=46\\ \text{ms}
c) Valor tal que 68\% das requisições têm tempo \le esse valor: \approx 43,48\\ \text{ms}.
d) Valor tal que 25\% das requisições têm tempo \ge esse valor: 46\\ \text{ms}.
e) Medidas de dispersão:
Amplitude =33\\ \text{ms}
Variância amostral s^2\approx 80,79\\ \text{ms}^2
Desvio padrão amostral s\approx 8,99\\ \text{ms}
IQR=Q_3-Q_1=15\\ \text{ms}
f) Coeficiente de assimetria de Pearson (usei a forma \text{Sk}=\dfrac{3(\bar{x}-\text{mediana})}{s}):
\text{Sk}\approx 0,658. Classificação: assimetria positiva moderada.

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