Um engenheiro de computação coletou o tempo de resposta (em milissegundos) de um servidor web para 35 requisições aleatórias durante um pico de tráfego. Segue abaixo os dados ordenados são:
,
.
a) Construa a tabela de frequência com classes com as seguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcule as medidas de posição.
c)
das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a quanto?
d)
das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e a partir do valor encontrado classifique quanto a assimetria.
a) Construa a tabela de frequência com classes com as seguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcule as medidas de posição.
c)
d)
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e a partir do valor encontrado classifique quanto a assimetria.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Dados ordenados (tempos em milissegundos). Peguei estes números do enunciado:
- Tamanho da amostra:
Perguntas (resumidas):
a) Construir tabela de frequências com classes contendo: frequência simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcular medidas de posição.
c) Determinar o valor tal que das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a esse valor.
d) Determinar o valor tal que das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a esse valor.
e) Calcular medidas de dispersão.
f) Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e classificar a assimetria.
a) Construir tabela de frequências com classes contendo: frequência simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcular medidas de posição.
c) Determinar o valor tal que
d) Determinar o valor tal que
e) Calcular medidas de dispersão.
f) Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e classificar a assimetria.
Passo 2
Escolha das classes e construção da tabela de frequências (passo didático).
-
Como temos
e amplitude dos dados , , amplitude total . Pela regra de Sturges obtemos cerca de classes. Para facilitar, escolhi classes de amplitude que cobrem os dados sem sobreposição: -
, , , , , .
-
-
Definição de convenção: cada classe inclui ambos os extremos inteiros conforme escrito (por exemplo, a classe
contém ). Com os dados inteiros fornecidos isso evita ambiguidade. -
Ponto médio (para cada classe) é calculado por:
Agora contamos os dados em cada classe e calculamos as frequências.
-
Contagens por classe (peguei os valores da lista ordenada e coloquei em cada classe):
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
-
Verificação:
, OK.
Passo 3
Montagem da tabela de frequência (valores calculados).
- Vou listar para cada classe: classe,
(absoluta), (relativa), (acumulada absoluta), (acumulada relativa), ponto médio . - Cálculos das relativas:
com . Cálculos das acumuladas: somas sucessivas dos .
Tabela (cada linha corresponde a uma classe):
Observações rápidas sobre a tabela (didática):
- Os pontos médios foram obtidos por
. - As frequências relativas somam
. As acumuladas crescem até ou .
Passo 4
Medidas de posição — média aritmética (aula rápida + cálculo).
- Fórmula da média amostral:
Aqui são os valores observados e o tamanho da amostra. - Calculei a soma dos dados (peguei cada número da lista dada):
- Logo
- Arredondando para duas casas:
Explicação prática: a média é o “centro de massa” dos valores; some tudo e divida por quantos valores existem.
Passo 5
Mediana e quartis (aula + cálculo exato com dados ordenados).
-
Como temos
(ímpar), a mediana é o valor na posição -ésima observação na série ordenada. -
Peguei a lista ordenada e localizei a 18ª observação: é
. Logo a mediana é -
Quartis (método simples usado aqui: posição
): - Primeiro quartil
: posição . Então . - Terceiro quartil
: posição . Então .
- Primeiro quartil
-
Interquartile range (IQR):
.
Passo 6
Moda (aula + cálculo).
- Moda é o valor que aparece com maior frequência nas observações. Observando os dados, o valor mais frequente é
que aparece 4 vezes. - Portanto, a moda é
Passo 7
Resposta da parte (c): encontrar o valor tal que
das requisições têm tempo menor ou igual (percentil 68).
- Para percentis com dados ordenados usamos a posição
. Aqui .
- A posição
fica entre a e a observação. Peguei os valores: -
- Interpolando linearmente:
Explicação: a interpolação assume escala contínua entre observações adjacentes — é um método prático quando a posição não é inteira.
Passo 8
Resposta da parte (d): encontrar o valor tal que
das requisições têm tempo superior ou igual a esse valor.
- “25% das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?” equivale a: qual o valor tal que a parcela acima é
. Isso corresponde ao percentil tal que (ou seja, o percentil), porque estão acima do percentil. - Calculamos a posição para
:
- Como
é inteiro, o percentil é . - Peguei o dado:
- Logo,
das requisições têm tempo de resposta
Passo 9
Medidas de dispersão (aula + cálculos: amplitude, variância, desvio padrão, IQR).
- Amplitude (range):
- Para variância e desvio padrão amostral usamos as fórmulas:
- Cálculo mais prático usando soma dos quadrados:
- Usei a identidade
- Computando:
- Dividindo por
:
- Desvio padrão amostral:
- Interquartile range (já calculado no Passo 5):
Resumo das medidas de dispersão:
- Amplitude =
- Variância amostral
- Desvio padrão amostral
-
Passo 10
Coeficiente de assimetria de Pearson (escolha do método e cálculo).
-
Existem duas fórmulas de Pearson frequentemente citadas:
- Pearson 1:
- Pearson 2 (mais usado em estatística descritiva):
- Pearson 1:
-
Escolhi usar a fórmula de Pearson 2 (
) porque é mais robusta quando a moda é pouco informativa ou quando a distribuição é discreta; além disso muitos cursos pedem explicitamente a forma com mediana. Vou explicar e calcular ambas rapidamente por didática.
Dados necessários (já obtidos):
- Pearson 2:
Arredondando:
- (Para referência) Pearson 1:
- Interpretação e classificação (regra de bolso):
-
: aproximadamente simétrica; -
: assimetria positiva moderada; -
: assimetria positiva acentuada.
-
- Como
(positivo e entre e ), classificamos a distribuição como tendo assimetria positiva moderada (ou seja, cauda à direita).
Resposta
a) Tabela de frequências (classe,
,
,
,
, ponto médio):
[25,30]
[31,36]
[37,42]
[43,48]
[49,54]
[55,60]
[25,30]
[31,36]
[37,42]
[43,48]
[49,54]
[55,60]
b) Medidas de posição:
Média
Mediana
Moda
Média
Mediana
Moda
c) Valor tal que
das requisições têm tempo
esse valor:
d) Valor tal que
das requisições têm tempo
esse valor:
e) Medidas de dispersão:
Amplitude
Variância amostral
Desvio padrão amostral
Amplitude
Variância amostral
Desvio padrão amostral
f) Coeficiente de assimetria de Pearson (usei a forma
):
. Classificação: assimetria positiva moderada.