Os dados a seguir representam a percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de carne e frango, a partir de uma amostra em uma cadeia de lanchonetes:
Carne \rightarrow 43 ; 47 ; 48 ; 51 ; 51 ; 55 ; 55 ; 57 ; 59
Frango → 20; 22; 45; 46; 53; 54; 56; 57
Calcule a média, a mediana e a moda para a percentagem de gordura em lanches de carne. Que medida de tendência central melhor representa esse conjunto de dados? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a média, a mediana e a moda da percentagem de gordura nos lanches de carne. Os dados fornecidos (já ordenados) são:
43,\;47,\;48,\;51,\;51,\;55,\;55,\;57,\;59.
Vou usar esses números para calcular as três medidas pedidas e depois discutir qual delas representa melhor esse conjunto de dados.
Passo 2
Definição e cálculo da média aritmética.
A média aritmética de um conjunto de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é dada por
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \overline{x} é a média, n é o número de observações e \sum_{i=1}^{n} x_i é a soma de todas as observações.
No nosso caso, n=9 e as observações são os números do passo 1. Primeiro somamos:
\sum_{i=1}^{9} x_i = 43+47+48+51+51+55+55+57+59.
Vamos somar em blocos para não nos perder:
43+47=90,\quad 90+48=138,\quad 138+51=189,
189+51=240,\quad 240+55=295,\quad 295+55=350,
350+57=407,\quad 407+59=466.
Logo,
\sum_{i=1}^{9} x_i = 466.
Aplicando a fórmula da média:
\overline{x}=\frac{466}{9}.
Como valor decimal aproximado (arredondando duas casas decimais):
\overline{x}\approx 51,78.
Passo 3
Definição e cálculo da mediana.
A mediana é o valor que divide o conjunto ordenado em duas metades de igual número de observações. Para n ímpar, a mediana é o elemento na posição (n+1)/2.
Aqui n=9 (ímpar), então a posição da mediana é
\frac{n+1}{2}=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5.
A quinta observação na lista ordenada (ver passo 1) é 51. Portanto a mediana é
\text{Mediana}=51.
Observação prática: a mediana é um valor observado no conjunto quando n é ímpar, o que facilita interpretação na prova.
Passo 4
Definição e cálculo da moda.
A moda é o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência no conjunto de dados. Pode haver nenhuma moda, uma moda (unimodal) ou várias (multimodal).
Observação sobre forma da distribuição: a média (51,78) é um pouco maior que a mediana (51). Quando a média é maior que a mediana isso indica uma leve assimetria para a direita (cauda à direita), ou seja, há mais valores maiores que empurram a média para cima (por exemplo 55,55,57,59 em cima vs 43,47,48 em baixo). A moda dupla mostra que existem dois valores que ocorrem com maior frequência, indicando uma distribuição com dois picos leves.
Interpretação prática sobre qual medida usar:
A média resume bem a informação quando os dados são aproximadamente simétricos e sem valores extremos, mas é sensível a valores mais extremos (influência dos “pesos”).
A mediana é robusta a valores extremos e dá o valor central que divide a amostra em duas metades iguais.
A moda informa os valores mais frequentes, útil para ver que percentagens são mais comuns, mas não resume a posição central quando há multimodalidade.
Conclusão lógica: como os dados apresentam leve assimetria para a direita e são bimodais (duas modas), a mediana é a medida de tendência central que melhor representa a posição típica do conjunto porque não é influenciada pela cauda direita e corresponde a um valor observado (51). A média fornece uma ideia do “valor médio” numérico, mas é afetada pelos valores maiores; a moda informa os valores mais frequentes (51 e 55) e é útil complementarmente.
Resposta
Média: \overline{x}=\dfrac{466}{9}\approx 51,78
Mediana: 51
Moda: 51 e 55 (bimodal)
Medida que melhor representa: mediana =51, porque é resistente à assimetria/valores extremos e descreve melhor a posição central deste conjunto (a média está levemente deslocada para a direita).