Seja X(t) um ruído branco Gaussiano com S_{X}(f)=\frac{N_{0}}{2}. Assuma que X(t) é a entrada de um filtro passa baixas com resposta à frequência H(f)=\left\{\begin{array}{l}2, \text { se } 1<|f|<3 ; \\\\ 0, \text { caso contrário. }\end{array}\right.
Seja Y(t) a saída do filtro.
a) Encontre S_{Y}(f);
b) Calcule R_{Y}(\tau);
c) Calcule E\left[Y(t)^{2}\right].
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perder:
Dado: X(t)\) é ruído branco Gaussiano com densidade espectral de potência (PSD) de duas faces
\[S_{X}(f)=\frac{N_{0}}{2}.
Dado: o sistema (filtro passa‑baixas) tem resposta em frequência
Definição: Y(t)\] é a saída do filtro quando a entrada é \(X(t).
O enunciado pede:
(a) encontrar S_{Y}(f);
(b) calcular R_{Y}(\tau) (autocorrelação) para todo \tau;
(c) calcular E\!\left[Y(t)^{2}\right].]
Passo 2
Conceito importante e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para um processo estacionário wide‑sense e um sistema linear e invariante no tempo (LTI) com resposta em frequência H(f), a relação entre a PSD de entrada S_X(f) e a PSD de saída S_Y(f) é
S_{Y}(f)=|H(f)|^{2}\,S_{X}(f).
O sentido: o filtro atua em cada frequência multiplicando o componente complexo por H(f); a potência nessa frequência é multiplicada por |H(f)|^{2}.
Aplicando ao nosso caso:
S_X(f)=\dfrac{N_{0}}{2} é constante (ruído branco).
H(f) vale 2 nas bandas 1<|f|<3 e 0 fora. Como H(f) é real nessa região, |H(f)|^{2}=2^{2}=4 onde H(f)=2.
Explico: peguei os intervalos 1\le f\le3 e -3\le f\le-1 porque os intervalos onde S_Y é não‑zero são exatamente esses; e usei que de 1 a 3 a PSD vale 2N_0, mesmo para o lado negativo simetricamente.
Passo 4
Vamos avaliar as integrais explicitamente. Primeiro calcule a integral de \,e^{j2\pi f\tau} entre a e b:
Tratar o caso \tau=0 (importante: a fórmula acima tem divisão por \tau). Pela definição,
R_{Y}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} S_{Y}(f)\,df
que é a potência total (ou segunda momento). Como S_{Y}(f)=2N_{0} somente em 1<|f|<3, a largura total de banda não‑nula é (3-1) + (3-1)=2+2=4 (Hz). Logo
R_{Y}(0)=2N_{0}\times 4=8N_{0}.
Verificação pela regra do limite: se \tau\to0 então \sin(6\pi\tau)-\sin(2\pi\tau)\approx 6\pi\tau-2\pi\tau=4\pi\tau, e substituindo na expressão do Passo 5 obtém‑se R_Y(0)=8N_0, consistente.
Passo 7
Interpretação final curta (motivacional): o filtro amplifica por 2 as componentes entre 1 e 3 Hz (em módulo), então potencia por Hz fica multiplicada por 4. O ruído branco tinha N_0/2 por Hz; após o filtro nas bandas ativas a PSD vale 2N_0. Como a banda total ativa tem largura 4 Hz, a potência total ficou 2N_0\times 4=8N_0.