Para os dados do Exercício 2 (número de filhos por família):
Número de Filhos
Frequência
0
5
1
12
2
18
3
10
4
3
a) Calcule a variância.
b) Calcule o desvio padrão.
| Número de Filhos | Frequência |
| 0 | 5 |
| 1 | 12 |
| 2 | 18 |
| 3 | 10 |
| 4 | 3 |
b) Calcule o desvio padrão.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição do número de filhos por família e pede duas coisas:
- (a) Calcular a variância.
- (b) Calcular o desvio padrão.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Valores de número de filhos
: . - Frequências correspondentes
: .
Passo 2
Vou explicar qual definição de variância vou usar, porque existem duas convenções comuns:
- Variância populacional (divide por
): usada quando os dados representam toda a população que se quer descrever (estatística descritiva). - Variância amostral não-viciada (divide por
): usada quando os dados são uma amostra e quer-se estimar a variância da população.
Aqui o enunciado só pede “a variância” de uma tabela de frequências (sem dizer “amostral”), então vou calcular a variância populacional — ou seja, a variância como medida descritiva dos dados disponíveis — e o desvio padrão correspondente. Se você quiser a versão amostral, me avisa que eu mostro também.
Passo 3
Primeiro definimos as fórmulas e o que cada símbolo significa.
A contagem total de observações é
onde
é a frequência do valor
.
A média (média aritmética ponderada pelas frequências) é
onde
é o valor médio das observações.
A variância populacional é
O desvio padrão populacional é
Passo 4
Calcular
e a soma dos valores ponderados para obter a média.
Somando as frequências:
Calcular
(produto valor vezes frequência; peguei os
e
do enunciado):
Logo a média é
Explicando rápido: a média é o “centro de massa” dos dados; como cada valor aparece
vezes, somamos
e dividimos por o total
.
Passo 5
Agora calculamos os desvios ao quadrado ponderados por frequência. Para cada valor
faço
, depois
, e por fim multiplico por
.
Vou listar passo a passo (todos os cálculos numéricos seguem dos
e
dados):
Para
com
:
Para
com
:
Para
com
:
Para
com
:
Para
com
:
Passo 6
Somar os termos ponderados que acabamos de calcular para obter
:
Calcular a variância populacional usando
:
Expliquei a simplificação em frações para ficar exato:
, então
.
Passo 7
Calcular o desvio padrão (raiz quadrada da variância):
Arredondando para três casas decimais,
.
Observação final (opcional): se a intenção for a variância amostral não-viciada, usa-se
e
. Mas aqui entreguei os resultados assumindo variância populacional, que é o mais comum para tabelas descritivas.