Para os dados do Exercício 2 (número de filhos por família):
Número de Filhos Frequência
0 5
1 12
2 18
3 10
4 3
a) Calcule a variância.
b) Calcule o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição do número de filhos por família e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a variância.
  • (b) Calcular o desvio padrão.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Valores de número de filhos \,x_i: \,0,1,2,3,4.
  • Frequências correspondentes \,f_i: \,5,12,18,10,3.

Passo 2

Vou explicar qual definição de variância vou usar, porque existem duas convenções comuns:
  • Variância populacional (divide por \,N): usada quando os dados representam toda a população que se quer descrever (estatística descritiva).
  • Variância amostral não-viciada (divide por \,N-1): usada quando os dados são uma amostra e quer-se estimar a variância da população.
Aqui o enunciado só pede “a variância” de uma tabela de frequências (sem dizer “amostral”), então vou calcular a variância populacional — ou seja, a variância como medida descritiva dos dados disponíveis — e o desvio padrão correspondente. Se você quiser a versão amostral, me avisa que eu mostro também.

Passo 3

Primeiro definimos as fórmulas e o que cada símbolo significa.
A contagem total de observações é
N=\sum_i f_i,
onde \,f_i é a frequência do valor \,x_i.
A média (média aritmética ponderada pelas frequências) é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i,
onde \bar{x} é o valor médio das observações.
A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2.
O desvio padrão populacional é
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.

Passo 4

Calcular N e a soma dos valores ponderados para obter a média.
Somando as frequências:
N=5+12+18+10+3=48.
Calcular \sum_i f_i x_i (produto valor vezes frequência; peguei os x_i e f_i do enunciado):
\sum_i f_i x_i = 0\cdot5 + 1\cdot12 + 2\cdot18 + 3\cdot10 + 4\cdot3 = 0+12+36+30+12 = 90.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{90}{48}=\frac{15}{8}=1{,}875.
Explicando rápido: a média é o “centro de massa” dos dados; como cada valor aparece f_i vezes, somamos f_i x_i e dividimos por o total N.

Passo 5

Agora calculamos os desvios ao quadrado ponderados por frequência. Para cada valor \,x_i faço (x_i-\bar{x}), depois (x_i-\bar{x})^2, e por fim multiplico por \,f_i.
Vou listar passo a passo (todos os cálculos numéricos seguem dos x_i e f_i dados):
Para \,x_1=0 com \,f_1=5:
x_1-\bar{x}=0-1{,}875=-1{,}875,
(x_1-\bar{x})^2=(-1{,}875)^2=3{,}515625,
f_1(x_1-\bar{x})^2=5\cdot3{,}515625=17{,}578125.
Para \,x_2=1 com \,f_2=12:
x_2-\bar{x}=1-1{,}875=-0{,}875,
(x_2-\bar{x})^2=(-0{,}875)^2=0{,}765625,
f_2(x_2-\bar{x})^2=12\cdot0{,}765625=9{,}1875.
Para \,x_3=2 com \,f_3=18:
x_3-\bar{x}=2-1{,}875=0{,}125,
(x_3-\bar{x})^2=(0{,}125)^2=0{,}015625,
f_3(x_3-\bar{x})^2=18\cdot0{,}015625=0{,}28125.
Para \,x_4=3 com \,f_4=10:
x_4-\bar{x}=3-1{,}875=1{,}125,
(x_4-\bar{x})^2=(1{,}125)^2=1{,}265625,
f_4(x_4-\bar{x})^2=10\cdot1{,}265625=12{,}65625.
Para \,x_5=4 com \,f_5=3:
x_5-\bar{x}=4-1{,}875=2{,}125,
(x_5-\bar{x})^2=(2{,}125)^2=4{,}515625,
f_5(x_5-\bar{x})^2=3\cdot4{,}515625=13{,}546875.

Passo 6

Somar os termos ponderados que acabamos de calcular para obter \sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2:
\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2 = 17{,}578125 + 9{,}1875 + 0{,}28125 + 12{,}65625 + 13{,}546875 = 53{,}25.
Calcular a variância populacional usando \sigma^2=\dfrac{1}{N}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2:
\sigma^2 = \frac{53{,}25}{48} = \frac{213}{192} = \frac{71}{64} = 1{,}109375.
Expliquei a simplificação em frações para ficar exato: 53{,}25=\dfrac{213}{4}, então \dfrac{213/4}{48}=\dfrac{213}{192}=\dfrac{71}{64}.

Passo 7

Calcular o desvio padrão (raiz quadrada da variância):
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{71}{64}}=\frac{\sqrt{71}}{8}\approx1{,}0532687\ldots
Arredondando para três casas decimais, \sigma\approx1{,}053.
Observação final (opcional): se a intenção for a variância amostral não-viciada, usa-se \,s^2=\dfrac{1}{N-1}\sum f_i(x_i-\bar{x})^2=\dfrac{53{,}25}{47}\approx1{,}13298 e s\approx1{,}0644. Mas aqui entreguei os resultados assumindo variância populacional, que é o mais comum para tabelas descritivas.

Resposta

\sigma^2=\dfrac{71}{64}=1{,}109375
\sigma=\dfrac{\sqrt{71}}{8}\approx1{,}0532687

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