Os dados a seguir são valores de concentração C de etanol no sangue, em função do tempo t, após a ingestão do etanol (Lynn et al.).
\mathbf{t}(\mathbf{m i n}) 90 120 150 180 210 240 270
\mathbf{C}(\mathbf{t})(\mathbf{m g} / \mathbf{d l}) 134 120 106 93 79 65 50
a) Faça o gráfico \mathrm{C}(\mathrm{t}) versus t que mostre uma relação linear entre essas grandezas ( C(t)=a \cdot t+b );
b) discuta a taxa de metabolização do álcool;
c) faça uma estimativa da concentração de álcool no sangue em \mathrm{t}=300 \mathrm{~min} (calcule C(t=300 \mathrm{~min}) );
d) em que instante de tempo t a concentração é zero? Ou seja, calcule t em que C(t)=0.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas: (a) obter um ajuste linear do tipo C(t)=a\cdot t+b para os dados; (b) discutir a taxa de metabolização do álcool (interpretação do coeficiente angular); (c) estimar C(t) em t=300\\ \mathrm{min}; (d) calcular o instante t em que C(t)=0.\n
Os dados vêm da tabela do enunciado (estou usando explicitamente esses valores da tabela):
\begin{array}{c|ccccccc} t\\ (\mathrm{min}) & 90 & 120 & 150 & 180 & 210 & 240 & 270\\hline C(t)\\ (\mathrm{mg/dl}) & 134 & 120 & 106 & 93 & 79 & 65 & 50 \end{array}

Passo 2

Método escolhido: ajuste linear por mínimos quadrados (o método padrão para achar a reta que “melhor” representa uma nuvem de pontos). Vou explicar a fórmula e o que cada coisa significa.\n
Se temos n pares (t_i,C_i), as fórmulas para coeficiente angular a e ordenada na origem b são:
a=\frac{n\sum t_iC_i - \left(\sum t_i\right)\left(\sum C_i\right)}{n\sum t_i^2 - \left(\sum t_i\right)^2}, \qquad b=\overline{C}-a\,\overline{t},
onde
\overline{t}=\frac{1}{n}\sum t_i,\qquad \overline{C}=\frac{1}{n}\sum C_i.
Explicação rápida: \overline{t} e \overline{C} são as médias das abscissas e ordenadas; a expressão para a vem de minimizar a soma dos quadrados dos erros verticais \sum (C_i - (a t_i + b))^2. O numerador mede a covariância entre t e C e o denominador é a variância de t.

Passo 3

Calculemos as somas necessárias (com n=7) usando os dados da tabela:
\sum t_i = 90+120+150+180+210+240+270 = 1260,
\sum C_i = 134+120+106+93+79+65+50 = 647,
\sum t_i^2 = 90^2+120^2+150^2+180^2+210^2+240^2+270^2 = 252000,
\sum t_iC_i = 90\cdot134+120\cdot120+150\cdot106+180\cdot93+210\cdot79+240\cdot65+270\cdot50 = 104790.
Médias:
\overline{t}=\frac{1260}{7}=180,\qquad \overline{C}=\frac{647}{7}=\frac{647}{7}\approx 92{,}428571.

Passo 4

Calcular o coeficiente angular a usando as somas:
a=\frac{7\cdot104790 - 1260\cdot647}{7\cdot252000 - 1260^2} =\frac{733530 - 815220}{1764000 - 1587600} =\frac{-81690}{176400}.
Simplificando a fração:
\frac{-81690}{176400} = -\frac{389}{840}\approx -0{,}463095238.
Interpretação: a tem unidades \mathrm{mg/dl\\ per\\ min} (porque C está em \mathrm{mg/dl} e t em \mathrm{min}). O sinal negativo indica que a concentração decresce com o tempo — isso é a metabolização.

Passo 5

Calcular b (ordenada na origem):
b=\overline{C}-a\,\overline{t}=\frac{647}{7}-\left(-\frac{389}{840}\right)\cdot180.
Simplificando \left(-\frac{389}{840}\right)\cdot180 = -\frac{389\cdot180}{840} = -\frac{1167}{14}, então
b=\frac{647}{7}+\frac{1167}{14}=\frac{2461}{14}\approx 175{,}7857143.

Passo 6

Portanto a reta de ajuste é
\boxed{C(t)=a\,t+b = -\frac{389}{840}\,t + \frac{2461}{14}\approx -0{,}463095\,t + 175{,}785714.}
Para verificar que a reta realmente passa próximo aos pontos, calculemos rapidamente C predito em t=90:
C(90)\approx -0{,}463095\cdot90 + 175{,}785714 \approx 134{,}11,
que é muito próximo do dado 134. Em t=270 dá aproximadamente 50{,}00, também muito próximo do dado 50. Portanto um gráfico de C versus t com essa reta mostrará uma relação aproximadamente linear decrescente (para fazer o gráfico na prova: plote os pontos dados e desenhe a reta usando a equação ou os dois pontos preditos).

Passo 7

A taxa de metabolização é o valor absoluto do coeficiente angular:
|a|=\frac{389}{840}\approx 0{,}4631\\ \mathrm{mg/dl\\ per\\ min}.
Interpretações alternativas mais usuais:
0{,}4631\\ \mathrm{mg/dl\\ per\\ min}\times 60 \approx 27{,}7857\\ \mathrm{mg/dl\\ per\\ hour}.
Em unidades de \mathrm{g/L} (uso comum em alguns contextos): 1\\ \mathrm{mg/dl}=0{,}01\\ \mathrm{g/L}, logo a taxa é
0{,}4631\cdot0{,}01=0{,}004631\\ \mathrm{g/L\\ per\\ min}\approx 0{,}2779\\ \mathrm{g/L\\ per\\ hour}.
Conclusão didática: o sangue elimina cerca de 0{,}463\\ \mathrm{mg/dl} a cada minuto (ou \approx 27{,}8\\ \mathrm{mg/dl/h}). O sinal negativo do a apenas indica que C diminui com o tempo.

Passo 8

Usando a reta:
C(300)= -\frac{389}{840}\cdot 300 + \frac{2461}{14}.
Simplificando -\frac{389}{840}\cdot300 = -\frac{389\cdot5}{14} = -\frac{1945}{14}. Então
C(300)=\frac{2461-1945}{14}=\frac{516}{14}=\frac{258}{7}\approx 36{,}8571429\\ \mathrm{mg/dl}.

Passo 9

Resolver 0 = a t + b
t = -\frac{b}{a} = -\frac{\frac{2461}{14}}{-\frac{389}{840}} = \frac{2461}{14}\cdot\frac{840}{389} = \frac{2461\cdot60}{389}.
Numericamente,
t\approx \frac{147660}{389}\approx 379{,}589\\ \mathrm{min}.
Em horas isso é 379{,}589/60\approx 6{,}3265\\ \mathrm{h}, ou seja cerca de 6\\ \mathrm{h}\\\ 19{,}6\\ \mathrm{min}.

Resposta

(a) C(t)=-\dfrac{389}{840}\,t+\dfrac{2461}{14}\approx -0{,}463095\,t+175{,}785714.\n
(b) Taxa de metabolização: |a|=\dfrac{389}{840}\approx 0{,}4631\\ \mathrm{mg/dl\\ per\\ min} (≈ 27{,}79\\ \mathrm{mg/dl\\ per\\ hour}, ≈ 0{,}2779\\ \mathrm{g/L\\ per\\ hour}).\n
(c) C(300)=\dfrac{258}{7}\approx 36{,}8571429\\ \mathrm{mg/dl}.\n (d) \(t tal que C(t)=0: t\approx 379{,}589\\ \mathrm{min} (≈ 6\\ \mathrm{h}\\\ 19{,}6\\ \mathrm{min}).)

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