a) Faça o gráfico \mathrm{C}(\mathrm{t}) versus t que mostre uma relação linear entre essas grandezas ( C(t)=a \cdot t+b );
b) discuta a taxa de metabolização do álcool;
c) faça uma estimativa da concentração de álcool no sangue em \mathrm{t}=300 \mathrm{~min} (calcule C(t=300 \mathrm{~min}) );
d) em que instante de tempo t a concentração é zero? Ou seja, calcule t em que C(t)=0.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas: (a) obter um ajuste linear do tipo C(t)=a\cdot t+b para os dados; (b) discutir a taxa de metabolização do álcool (interpretação do coeficiente angular); (c) estimar C(t) em t=300\\ \mathrm{min}; (d) calcular o instante t em que C(t)=0.\n
Os dados vêm da tabela do enunciado (estou usando explicitamente esses valores da tabela):
Método escolhido: ajuste linear por mínimos quadrados (o método padrão para achar a reta que “melhor” representa uma nuvem de pontos). Vou explicar a fórmula e o que cada coisa significa.\n
Se temos n pares (t_i,C_i), as fórmulas para coeficiente angular a e ordenada na origem b são:
Explicação rápida: \overline{t} e \overline{C} são as médias das abscissas e ordenadas; a expressão para a vem de minimizar a soma dos quadrados dos erros verticais \sum (C_i - (a t_i + b))^2. O numerador mede a covariância entre t e C e o denominador é a variância de t.
Passo 3
Calculemos as somas necessárias (com n=7) usando os dados da tabela:
Interpretação: a tem unidades \mathrm{mg/dl\\ per\\ min} (porque C está em \mathrm{mg/dl} e t em \mathrm{min}). O sinal negativo indica que a concentração decresce com o tempo — isso é a metabolização.
que é muito próximo do dado 134. Em t=270 dá aproximadamente 50{,}00, também muito próximo do dado 50. Portanto um gráfico de C versus t com essa reta mostrará uma relação aproximadamente linear decrescente (para fazer o gráfico na prova: plote os pontos dados e desenhe a reta usando a equação ou os dois pontos preditos).
Passo 7
A taxa de metabolização é o valor absoluto do coeficiente angular:
Conclusão didática: o sangue elimina cerca de 0{,}463\\ \mathrm{mg/dl} a cada minuto (ou \approx 27{,}8\\ \mathrm{mg/dl/h}). O sinal negativo do a apenas indica que C diminui com o tempo.