Número de passos por unidade de tempo (frequência de passos) executado por animais de tamanhos diferentes, com fator de escala L .
a) A partir da equação da frequência de oscilação de um pêndulo, escreva com a frequência de passos f(\ell) escala com a massa m do animal, ou seja, calcule o expoente de f(m) \propto m^{B}.
b) Calcule a frequência de passos para os animais quadrupedes na tabela abaixo. Tome com referência um cachorro de massa 20 kg executar 2,0 passo/s.
Mamífero m= Massa Média (kg) f(m)=Frequência de Passos (pps)
Elefante-africano 6000
Rinoceronte-branco 3400
Girafa 1180
Vaca 700
Cavalo 500
Zebra-das-planícies 300
Tigre 225
Ovelha 70
Cachorro 20 2,0
Gato 4
Coelho 2
Esquilo 0,5
Camundongo 0,02
Musaranho 0,005

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
  • Pedidos:
    1. (a) Achar como a frequência de passos escala com a massa do animal, ou seja calcular o expoente B na relação f(m)\propto m^{B}.
    2. (b) Calcular numericamente a frequência de passos f(m) para cada mamífero da tabela, usando como referência que um cachorro de massa 20\\ \mathrm{kg} faz 2{,}0 passos/s.
  • Dados fornecidos (peguei da tabela do enunciado):
    • massas: Elefante-africano m=6000, Rinoceronte-branco m=3400, Girafa m=1180, Vaca m=700, Cavalo m=500, Zebra m=300, Tigre m=225, Ovelha m=70, Cachorro m=20 com f=2{,}0\\ \mathrm{s^{-1}}, Gato m=4, Coelho m=2, Esquilo m=0{,}5, Camundongo m=0{,}02, Musaranho m=0{,}005.
  • Informação extra do enunciado (peguei da imagem):
    • frequência de um pêndulo simples \displaystyle f(\ell)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}}, portanto f(\ell)\propto \ell^{-1/2}.

Passo 2

Entendimento físico-matemático da relação entre comprimento e frequência\n
  • A fórmula do pêndulo nos diz que a frequência de oscilação depende do comprimento \ell assim: f(\ell)\propto \ell^{-1/2}.Aqui \ell é um comprimento característico (por exemplo, comprimento de perna) e f é o número de ciclos por segundo (passos por segundo no nosso uso).
  • Interpretação simples: se você aumenta o comprimento \ell, a frequência diminui como a raiz quadrada inversa. Bom até aqui!

Passo 3

Como relacionar massa m com comprimento \ell\n
  • Para animais de formas geometricamente semelhantes (mesma forma, só escalando), a massa escala com o volume, isto é: m \propto \ell^{3}.Explicando: volume ~ \ell^3, e massa é densidade × volume; assumimos densidade aproximadamente constante entre os animais.
  • Da relação acima segue imediatamente: \ell \propto m^{1/3}.Ou seja, comprimento característico cresce como a raiz cúbica da massa.

Passo 4

Combinar as duas relações para obter f(m)\n
  • Substituímos \ell\propto m^{1/3} na lei f(\ell)\propto \ell^{-1/2}: f(m)\propto \big(m^{1/3}\big)^{-1/2}.
  • Simplificando potências: \big(m^{1/3}\big)^{-1/2}=m^{(1/3)\cdot(-1/2)}=m^{-1/6}.
  • Portanto a escala com a massa é f(m)\propto m^{-1/6}.Isso responde a parte (a): o expoente B é -\tfrac{1}{6} (aproximadamente -0{,}1667).

Passo 5

Obter a constante de proporcionalidade usando o cachorro como referência\n
  • Escrevemos a relação com constante C: f(m)=C\,m^{-1/6}.
  • Usamos a referência: para m_{0}=20\\ \mathrm{kg} temos f_{0}=2{,}0\\ \mathrm{s^{-1}}. Assim 2{,}0 = C\,(20)^{-1/6}\quad\Rightarrow\quad C = 2{,}0\,(20)^{1/6}.
  • Mais útil na prática é escrever a forma relativa, evitando calcular C separadamente: f(m)=f_{0}\left(\frac{m}{m_{0}}\right)^{-1/6}ou equivalentemente f(m)=2{,}0\left(\frac{m}{20}\right)^{-1/6}=2{,}0\left(\frac{20}{m}\right)^{1/6}.Essa fórmula é a que usaremos para calcular todas as frequências.

Passo 6

Como calcular numericamente a potência 1/6 sem mistério\n
  • Observação prática: x^{1/6}=\sqrt[6]{x}=\sqrt{\sqrt[3]{x}}. Assim você pode:
    1. calcular a raiz cúbica de x (aproximação),
    2. tirar a raiz quadrada do resultado.
  • Para nossa fórmula usamos \left(\dfrac{20}{m}\right)^{1/6}. Então para cada massa eu:
    1. calculo r=\dfrac{20}{m},
    2. calculo c=\sqrt[3]{r},
    3. calculo s=\sqrt{c},
    4. então f=2{,}0\cdot s.
  • Vou mostrar um exemplo completo (passo a passo) para o Elefante e para o Camundongo, e depois darei todos os resultados.

Passo 7

Exemplo de cálculo passo a passo (Elefante m=6000\\ \mathrm{kg})\n
  • r=\dfrac{20}{6000}=0{,}003333.
  • \sqrt[3]{r}\approx 0{,}1499 (porque 0{,}1499^{3}\approx0{,}00337).
  • \sqrt{0{,}1499}\approx 0{,}3873.
  • f=2{,}0\times 0{,}3873\approx 0{,}77\\ \mathrm{s^{-1}}.
    (logo o elefante faz cerca de 0{,}77 passos por segundo segundo este modelo).

Passo 8

Exemplo de cálculo passo a passo (Camundongo m=0{,}02\\ \mathrm{kg})\n
  • r=\dfrac{20}{0{,}02}=1000.
  • \sqrt[3]{1000}=10.
  • \sqrt{10}\approx 3{,}1623.
  • f=2{,}0\times 3{,}1623\approx 6{,}32\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 9

Cálculo das frequências para toda a tabela (aproximações numéricas)\n
  • Usando f(m)=2{,}0\left(\dfrac{20}{m}\right)^{1/6} e os passos numéricos descritos, obtemos (arredondado a duas casas decimais):
    • Elefante-africano m=6000: f\approx 0{,}77\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Rinoceronte-branco m=3400: f\approx 0{,}85\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Girafa m=1180: f\approx 1{,}01\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Vaca m=700: f\approx 1{,}11\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Cavalo m=500: f\approx 1{,}17\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Zebra-das-planícies m=300: f\approx 1{,}27\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Tigre m=225: f\approx 1{,}34\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Ovelha m=70: f\approx 1{,}62\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Cachorro m=20: f=2{,}00\\ \mathrm{s^{-1}} (referência).
    • Gato m=4: f\approx 2{,}62\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Coelho m=2: f\approx 2{,}94\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Esquilo m=0{,}5: f\approx 3{,}70\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Camundongo m=0{,}02: f\approx 6{,}32\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Musaranho m=0{,}005: f\approx 7{,}97\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

(a) B=-\tfrac{1}{6} (ou B\approx -0{,}1667).\n
(b) Elefante-africano: 0{,}77\\ \mathrm{s^{-1}}\nRinoceronte-branco: 0{,}85\\ \mathrm{s^{-1}}\nGirafa: 1{,}01\\ \mathrm{s^{-1}}\nVaca: 1{,}11\\ \mathrm{s^{-1}}\nCavalo: 1{,}17\\ \mathrm{s^{-1}}\nZebra-das-planícies: 1{,}27\\ \mathrm{s^{-1}}\nTigre: 1{,}34\\ \mathrm{s^{-1}}\nOvelha: 1{,}62\\ \mathrm{s^{-1}}\nCachorro: 2{,}00\\ \mathrm{s^{-1}}\nGato: 2{,}62\\ \mathrm{s^{-1}}\nCoelho: 2{,}94\\ \mathrm{s^{-1}}\nEsquilo: 3{,}70\\ \mathrm{s^{-1}}\nCamundongo: 6{,}32\\ \mathrm{s^{-1}}\nMusaranho: 7{,}97\\ \mathrm{s^{-1}}

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