Número de passos por unidade de tempo (frequência de passos) executado por animais de tamanhos diferentes, com fator de escala L .
a) A partir da equação da frequência de oscilação de um pêndulo, escreva com a frequência de passos
escala com a massa
do animal, ou seja, calcule o expoente de
.
b) Calcule a frequência de passos para os animais quadrupedes na tabela abaixo. Tome com referência um cachorro de massa 20 kg executar 2,0 passo/s.
Mamífero
Massa Média (kg)
f(m)=Frequência de Passos (pps)
Elefante-africano
6000
Rinoceronte-branco
3400
Girafa
1180
Vaca
700
Cavalo
500
Zebra-das-planícies
300
Tigre
225
Ovelha
70
Cachorro
20
2,0
Gato
4
Coelho
2
Esquilo
0,5
Camundongo
0,02
Musaranho
0,005
a) A partir da equação da frequência de oscilação de um pêndulo, escreva com a frequência de passos
b) Calcule a frequência de passos para os animais quadrupedes na tabela abaixo. Tome com referência um cachorro de massa 20 kg executar 2,0 passo/s.
| Mamífero |
|
f(m)=Frequência de Passos (pps) |
| Elefante-africano | 6000 | |
| Rinoceronte-branco | 3400 | |
| Girafa | 1180 | |
| Vaca | 700 | |
| Cavalo | 500 | |
| Zebra-das-planícies | 300 | |
| Tigre | 225 | |
| Ovelha | 70 | |
| Cachorro | 20 | 2,0 |
| Gato | 4 | |
| Coelho | 2 | |
| Esquilo | 0,5 | |
| Camundongo | 0,02 | |
| Musaranho | 0,005 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
- Pedidos:
- (a) Achar como a frequência de passos escala com a massa do animal, ou seja calcular o expoente
na relação . - (b) Calcular numericamente a frequência de passos
para cada mamífero da tabela, usando como referência que um cachorro de massa faz passos/s.
- (a) Achar como a frequência de passos escala com a massa do animal, ou seja calcular o expoente
- Dados fornecidos (peguei da tabela do enunciado):
- massas: Elefante-africano
, Rinoceronte-branco , Girafa , Vaca , Cavalo , Zebra , Tigre , Ovelha , Cachorro com , Gato , Coelho , Esquilo , Camundongo , Musaranho .
- massas: Elefante-africano
- Informação extra do enunciado (peguei da imagem):
- frequência de um pêndulo simples
, portanto .
- frequência de um pêndulo simples
Passo 2
Entendimento físico-matemático da relação entre comprimento e frequência\n
- A fórmula do pêndulo nos diz que a frequência de oscilação depende do comprimento
assim: Aqui é um comprimento característico (por exemplo, comprimento de perna) e é o número de ciclos por segundo (passos por segundo no nosso uso). - Interpretação simples: se você aumenta o comprimento
, a frequência diminui como a raiz quadrada inversa. Bom até aqui!
Passo 3
Como relacionar massa
com comprimento
\n
- Para animais de formas geometricamente semelhantes (mesma forma, só escalando), a massa escala com o volume, isto é:
Explicando: volume ~ , e massa é densidade × volume; assumimos densidade aproximadamente constante entre os animais. - Da relação acima segue imediatamente:
Ou seja, comprimento característico cresce como a raiz cúbica da massa.
Passo 4
Combinar as duas relações para obter
\n
- Substituímos
na lei : - Simplificando potências:
- Portanto a escala com a massa é
Isso responde a parte (a): o expoente é (aproximadamente ).
Passo 5
Obter a constante de proporcionalidade usando o cachorro como referência\n
- Escrevemos a relação com constante
: - Usamos a referência: para
temos . Assim - Mais útil na prática é escrever a forma relativa, evitando calcular
separadamente: ou equivalentemente Essa fórmula é a que usaremos para calcular todas as frequências.
Passo 6
Como calcular numericamente a potência
sem mistério\n
- Observação prática:
. Assim você pode: - calcular a raiz cúbica de
(aproximação), - tirar a raiz quadrada do resultado.
- calcular a raiz cúbica de
- Para nossa fórmula usamos
. Então para cada massa eu: - calculo
, - calculo
, - calculo
, - então
.
- calculo
- Vou mostrar um exemplo completo (passo a passo) para o Elefante e para o Camundongo, e depois darei todos os resultados.
Passo 7
Exemplo de cálculo passo a passo (Elefante
)\n
-
. -
(porque ). -
. -
.
(logo o elefante faz cerca depassos por segundo segundo este modelo).
Passo 8
Exemplo de cálculo passo a passo (Camundongo
)\n
-
. -
. -
. -
.
Passo 9
Cálculo das frequências para toda a tabela (aproximações numéricas)\n
- Usando
e os passos numéricos descritos, obtemos (arredondado a duas casas decimais): - Elefante-africano
: . - Rinoceronte-branco
: . - Girafa
: . - Vaca
: . - Cavalo
: . - Zebra-das-planícies
: . - Tigre
: . - Ovelha
: . - Cachorro
: (referência). - Gato
: . - Coelho
: . - Esquilo
: . - Camundongo
: . - Musaranho
: .
- Elefante-africano
Resposta
(a)
(ou
).\n
(b) Elefante-africano: \nRinoceronte-branco:
\nGirafa:
\nVaca:
\nCavalo:
\nZebra-das-planícies:
\nTigre:
\nOvelha:
\nCachorro:
\nGato:
\nCoelho:
\nEsquilo:
\nCamundongo:
\nMusaranho:
(b) Elefante-africano: