Faça o gráfico (dos dados da tabela abaixo) no excel do tempo de gestação em função da massa do mamífero.
Mamífero Massa Média (kg) Gestação Média (dias)
Elefante-africano 6000 660
Rinoceronte-branco 3400 540
Hipopótamo 1500 232
Girafa 1180 457
Urso-polar 450 241
Zebra-das-planícies 300 378
Tigre-siberiano 225 103
Leão 190 115
a) Com esse gráfico, faça a Linha de Tendência (Potência) para determinar o valor do expoente ajustado pelo excel. Compare este expoente com o valor teórico (1/4), que afirma que o tempo de gestação cresce com a massa elevado ao expoente 1 / 4\left(\Delta T_{g}(m)=A \cdot m^{B}\right)
b) Com a sua função do item anterior, faça uma previsão do tempo de gestação para um animal de massa 100 g ( \mathrm{ou} 0,1 \mathrm{~kg} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá uma tabela com massa média em kg e tempo de gestação em dias para 8 mamíferos. Perguntas:
  • (a) Ajustar uma linha de tendência do tipo potência pelo Excel do tipo \Delta T_g(m)=A\cdot m^{B} e determinar o expoente B obtido no ajuste; comparar esse B com o valor teórico 1/4.
  • (b) Usar a função ajustada no item (a) para prever o tempo de gestação de um animal com massa \,0{,}1\\ \text{kg} (100 g).
Dados da tabela (copie esses pares no Excel para o gráfico; eixo x: massa em kg, eixo y: gestação em dias):
\begin{array}{ll} \text{Massa }(m\\ \text{em kg}) & \text{Gestação }(T\\ \text{em dias})\\[2pt] 6000 & 660\\\\ 3400 & 540\\\\ 1500 & 232\\\\ 1180 & 457\\\\ 450 & 241\\\\ 300 & 378\\\\ 225 & 103\\\\ 190 & 115 \end{array}çã]

Passo 2

Como o Excel obtém a linha de tendência potência (e como você pode verificar):
  • No Excel, selecione os pares (m,T), insira um gráfico de dispersão (Scatter) com marcadores, com o eixo x sendo a massa e o eixo y sendo a gestação.
  • Clique no gráfico, escolha “Add Trendline” (Adicionar Linha de Tendência) → selecione a opção “Power” (Potência).
  • Marque as opções “Display Equation on chart” (Exibir equação no gráfico) e “Display R-squared value on chart” (se quiser ver o R²).
  • O Excel mostrará uma equação do tipo \displaystyle y = A x^{B}. O coeficiente que aparece como expoente é exatamente o B pedido.
  • Observação didática rápida: o ajuste de potência é linearizado tomando logs (por exemplo, \log_{10}). Se definirmos x=\log_{10}(m) e y=\log_{10}(T), então temos a reta
y = \log_{10}A + B\,x.
Assim podemos obter B fazendo uma regressão linear entre \log_{10}(m) e \log_{10}(T). O Excel faz esse procedimento internamente quando você pede a tendência do tipo potência, ou você pode calcular explicitamente com funções como \text{LINEST} aplicando \log_{10} às colunas.

Passo 3

Vou fazer o ajuste aqui passo a passo pelo método do logaritmo (que é exatamente o que o Excel faz por trás), explicando tudo para você conseguir replicar na prova sem calculadora (o raciocínio é o importante; números eu já calculei com aproximação prática):
  • Defina para cada par (m_i,T_i):
x_i=\log_{10}(m_i),\qquad y_i=\log_{10}(T_i).
  • A reta ajustada por mínimos quadrados é
y = a + B x,
com
B=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}, \qquad a=\bar y - B\bar x,
onde \bar x e \bar y são as médias dos x_i e y_i.

Passo 4

Cálculo dos \log_{10} (eu calculei e apresento os valores aproximados que você também obteria no Excel com =LOG10()):
\begin{array}{lll} m & x=\log_{10}(m) & T\\ \text{(dias)},\\ y=\log_{10}(T)\\[2pt] 6000 & 3{,}778151 & 660,\\\ 2{,}819544\\\\ 3400 & 3{,}531479 & 540,\\\ 2{,}732394\\\\ 1500 & 3{,}176091 & 232,\\\ 2{,}365487\\\\ 1180 & 3{,}071882 & 457,\\\ 2{,}659999\\\\ 450 & 2{,}653213 & 241,\\\ 2{,}382021\\\\ 300 & 2{,}477121 & 378,\\\ 2{,}578897\\\\ 225 & 2{,}352183 & 103,\\\ 2{,}012837\\\\ 190 & 2{,}278754 & 115,\\\ 2{,}060700 \end{array}
Agora some e calcule médias (valores aproximados):
\sum x_i \approx 23{,}318871,\quad \bar x \approx 2{,}914859
\sum y_i \approx 19{,}611879,\quad \bar y \approx 2{,}451485
Calcule as somas necessárias para a regressão (eu calculei as diferenças e os produtos; aqui apresento as somas resultantes aproximadas):
\sum_{i}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\approx 0{,}9590,
\sum_{i}(x_i-\bar x)^2\approx 2{,}19965.]

Passo 5

Calcule o expoente B e o intercepto a (na escala logarítmica):
B=\frac{0{,}9590}{2{,}19965}\approx 0{,}4362.
a=\bar y - B\bar x \approx 2{,}451485 - 0{,}4362\cdot 2{,}914859 \approx 1{,}18049.
Como a equação linear em log base 10 foi y=a + Bx, voltando à escala original obtemos
T = A\cdot m^{B},\qquad\text{onde}\\ \\ A = 10^{a}.
Logo
A \approx 10^{1{,}18049}\approx 15{,}13.
Assim o ajuste (aproximado) é
\boxed{T(m)\approx 15{,}13\cdot m^{0{,}4362}}.

Passo 6

Comparação com o valor teórico B_{\text{teórico}}=1/4=0{,}25ó:
  • Nosso ajuste deu B_{\text{ajustado}}\approx 0{,}4362.
  • Diferença absoluta: 0{,}4362-0{,}25=0{,}1862.
  • Diferença relativa (percentual em relação a 0{,}25):
\frac{0{,}1862}{0{,}25}\times 100\%\approx 74{,}5\%\\ \text{(maior que }1/4\text{)}.
Interpretação didática: os dados fornecidos (essas 8 espécies) levam a um expoente bem maior que 1/4; ou seja, no conjunto de dados aqui o tempo de gestação cresce com a massa mais rapidamente do que a lei teórica m^{1/4}. Isso pode acontecer por variabilidade biológica, pequena amostra, ou porque outros fatores (além da massa) influenciam muito o tempo de gestação.

Passo 7

Previsão para \,m=0{,}1\\ \text{kg} usando a função ajustada:
T(0{,}1)=15{,}13\cdot (0{,}1)^{0{,}4362}.
Lembrete: (0{,}1)^{0{,}4362}=10^{-0{,}4362}. Então
(0{,}1)^{0{,}4362}=10^{-0{,}4362}\approx 0{,}3665.
Logo
T(0{,}1)\approx 15{,}13\cdot 0{,}3665\approx 5{,}55\\ \text{dias}.

Passo 8

Como confirmar no Excel (dica prática para a prova/orientação):
  • Depois de colocar os pontos e adicionar a Trendline do tipo “Power”, veja a equação exibida no gráfico: ela aparecerá como algo do tipo \,y = 15{,}13 x^{0{,}4362}\, (os valores podem variar ligeiramente por arredondamento). Esse é o A e B que você deve usar.
  • Para prever diretamente no Excel para m=0{,}1, você pode escrever na célula: =15.13*(0.1^0.4362) ou, melhor, use as células com os coeficientes que o Excel exibiu (copie a equação do gráfico) e calcule.
  • Alternativa analítica no Excel: aplique =LOG10(range) nas duas colunas e use =LINEST(logT_range; logM_range) para obter (B,a) diretamente (o primeiro valor retornado por LINEST será a inclinação B, o segundo será a intercept a na base 10).

Resposta

(a) Expoente ajustado pelo Excel (via regressão log-log): B\approx 0{,}4362. Comparação: é maior do que o valor teórico 1/4=0{,}25; é cerca de 74{,}5\% maior.
(b) Previsão para m=0{,}1\\ \text{kg}: T(0{,}1)\approx 5{,}55\\ \text{dias}.

Exercícios relacionados