Questão 1

Ainda não respondida
Você deseja atingir um alvo que está a alguns metros de distância com uma moeda que possui massa de 4,25 \mathrm{~g} e carga de 2,50 mC . A moeda é lançada a uma velocidade inicial 28,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e existe um campo elétrico uniforme de cima para baixo com intensidade igual a 38,4 \mathrm{~N} / \mathrm{C} por toda a região. Se você mirar diretamente o alvo e lançar a moeda horizontalmente, quais são o módulo, a direção e o sentido do campo magnético uniforme necessários na região para a moeda atingir o alvo?
Escreva sua resposta com uma casa decimal, em Tesla e não escreva a unidade.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede que a moeda atinja o alvo quando lançada horizontalmente mirando diretamente nele, apesar de existir um campo elétrico uniforme de cima para baixo. Temos que encontrar o módulo, a direção e o sentido do campo magnético uniforme necessário para que isso ocorra.
Informações fornecidas:
m=4,25\\ \mathrm{g}=0,00425\\ \mathrm{kg}
q=2,50\\ \mathrm{mC}=0,00250\\ \mathrm{C}
v=28,5\\ \mathrm{m/s}\quad\text{(velocidade inicial horizontal)}
\mathbf{E}\\ \text{com intensidade }E=38,4\\ \mathrm{N/C}\text{, apontando de cima para baixo.}
O objetivo físico: escolher \mathbf{B} tal que a moeda não sofra deflexão vertical e siga retilínea horizontal até o alvo.

Passo 2

Entendendo as forças verticais que atuam na moeda (a tal da “aula rápida” antes de resolver):
  • A força elétrica sobre uma carga é dada por \mathbf{F}_E=q\,\mathbf{E}. Para carga positiva, a força tem a mesma direção e sentido do campo \mathbf{E}. Portanto aqui \mathbf{F}_E aponta para baixo e tem módulo
F_E=qE.
  • A força magnética sobre uma carga em movimento é dada por \mathbf{F}_B=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}. O módulo é
F_B=qvB\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{B}. O sentido é dado pela regra da mão direita para \mathbf{v}\times\mathbf{B} (para carga positiva o vetor resultante aponta no mesmo sentido de \mathbf{F}_B).
Para a moeda não desviar verticalmente precisamos que as forças verticais se cancelem:
\mathbf{F}_E+\mathbf{F}_B=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad F_B=F_E.

Passo 3

Escolhendo um sistema de referência prático para raciocinar (isso não altera o resultado, só facilita):
  • Tome \hat{\mathbf{x}} para a direita (direção do lançamento), \hat{\mathbf{y}} para cima e \hat{\mathbf{z}} para fora da página.
  • Então \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{x}} e \mathbf{E}=-E\,\hat{\mathbf{y}} (porque \mathbf{E} é de cima para baixo). Logo \mathbf{F}_E=q\mathbf{E}=-qE\,\hat{\mathbf{y}} (apontando para baixo).
Como queremos que a resultante vertical seja zero, precisamos que a força magnética tenha componente vertical para cima de módulo qE. Ou seja:
F_B=qE.

Passo 4

Escolha do ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{B}:
Para obter a força magnética necessária com o menor módulo possível de \mathbf{B} (e também é a escolha mais simples para a prova), colocamos \mathbf{B} perpendicular a \mathbf{v}, assim \sin\theta=1. Isso simplifica a fórmula do módulo para
F_B=qvB.
Igualando aos F_E:
qvB=qE \quad\Rightarrow\quad B=\frac{E}{v}.
Aqui explico a razão: tomar \mathbf{B} perpendicular a \mathbf{v} maximiza a força magnética para dado B, então é a escolha natural para cancelar exatamente a força elétrica sem ter que usar um B maior do que o necessário.

Passo 5

Conversão numérica e cálculo do módulo:
B=\frac{E}{v}=\frac{38,4}{28,5}.
Faço a divisão passo a passo (para você poder reproduzir sem calculadora na prova, estimando):
28,5\times 1,3=37,05\qquad\text{(ainda menor que 38,4)}
28,5\times 1,34=38,19\qquad\text{(bem perto)}
28,5\times 1,347\approx38,44\qquad\text{(um pouco acima)}
O valor exato da divisão é
B\approx1,347368\ldots
Arredondando para uma casa decimal (conforme pedido), obtemos
B=1,3\quad\text{(Tesla, mas não escreveremos a unidade conforme instrução).}ãçã

Passo 6

Determinação da direção e sentido de \mathbf{B} (a parte do “como apontar o ímã”): precisamos que \mathbf{F}_B=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} aponte para cima ( +\hat{\mathbf{y}}) para cancelar \mathbf{F}_E que aponta para baixo. Com \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{x}} e supondo \mathbf{B}=B_z\,\hat{\mathbf{z}} (ou seja, \mathbf{B} perpendicular ao plano do movimento), calculemos:
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=v\,\hat{\mathbf{x}}\times(B_z\,\hat{\mathbf{z}})=vB_z(\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{z}}).
Sabemos que \hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{z}}=-\hat{\mathbf{y}}. Assim
\mathbf{v}\times\mathbf{B}= -vB_z\,\hat{\mathbf{y}}.
Queremos isto igual a + \dfrac{E}{v}\,v\,\hat{\mathbf{y}}=+E\,\hat{\mathbf{y}} (no sentido de gerar força para cima), logo é necessário que -vB_z\,\hat{\mathbf{y}} seja para cima; portanto B_z deve ser negativo. Em outras palavras, \mathbf{B} deve apontar para dentro da página (no sentido -\hat{\mathbf{z}}) para que \mathbf{v}\times\mathbf{B} aponte para cima. Isto está de acordo com a regra da mão direita: com o dedo indicador apontando na direção de \mathbf{v} (para a direita) e o dedo médio na direção de \mathbf{B} (para dentro da página), o polegar aponta para cima — que é o sentido da força sobre carga positiva.

Passo 7

Resumo final (módulo, direção e sentido), lembrando o arredondamento pedido:
  • Módulo: 1,3 (uma casa decimal; em Tesla, unidade omitida conforme pedido).
  • Direção: perpendicular ao plano do movimento (isto é, perpendicular ao vetor velocidade horizontal), ou equivalentemente perpendicular ao plano horizontal formado pela velocidade e pela vertical.
  • Sentido: apontando para dentro da página (ou no sentido de -\hat{\mathbf{z}}), de modo que \mathbf{v}\times\mathbf{B} aponte para cima e cancele a força elétrica que aponta para baixo.

Resposta

1,3
\text{perpendicular ao plano do movimento (i.e. ao eixo horizontal),}
\text{apontando para dentro da página (tal que }\mathbf{v}\times\mathbf{B}\text{ seja para cima).}á

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