Dados sen(x)=513 e sen(y)=-45, com 0 e pi. Determine cos (x+y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! A questão nos dá os valores de sen(x) e sen(y), além dos intervalos onde x e y estão. Queremos descobrir o valor de cos(x + y). Para isso, vamos usar algumas fórmulas trigonométricas básicas e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar cos(x). Sabemos que:
sin(x) = 513
Como 0 < x < pi2, todos os senos e cossenos são positivos nesse intervalo. Usando o teorema de Pitágoras:
cos(x) = raiz1 - sin^2(x) = raiz1 - (513)^2 = raiz1 - 25169 = raiz144169 = 1213

Passo 3

Agora, vamos encontrar cos(y). Sabemos que:
sin(y) = -45
E que pi < y < 3pi2, então y está no terceiro quadrante onde seno e cosseno são negativos. Usando o teorema de Pitágoras:
cos(y) = -raiz1 - sin^2(y) = -raiz1 - (-45)^2 = -raiz1 - 1625 = -raiz925 = -35

Passo 4

Agora que temos sin(x), cos(x), sin(y) e cos(y), vamos usar a fórmula da soma de cossenos:
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
Substituindo os valores que encontramos:
cos(x + y) = (1213) (-35) - (513) (-45)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
1213 times -35 = -3665
513 times -45 = -2065
Então:
cos(x + y) = -3665 - (-2065) = -3665 + 2065 = -1665

Resposta

cos(x + y) = -1665

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