y^prime prime-4 y^prime+3 y=20 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) mais uma solução particular que atende a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica substituindo por , o que nos dá: .

Passo 3

Resolvendo a equação característica r = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^3x + C2 e^x
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, precisamos achar uma solução particular yp = A x e^x para a equação completa . Como o lado direito é , fazemos uma suposição para . Porém, como já está na solução homogênea, multiplicamos por para evitar redundância. Então, vamos supor:

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp' = A e^x + A x e^x :
yp'' = 2A e^x + A x e^x

Passo 7

Substituímos (2A e^x + A x e^x) - 4(A e^x + A x e^x) + 3(A x e^x) = 20 e^x , 2A e^x + A x e^x - 4A e^x - 4A x e^x + 3A x e^x = 20 e^x e (2A - 4A) e^x + (A - 4A + 3A) x e^x = 20 e^x na equação original:
-2A e^x + 0 cdot x e^x = 20 e^x
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
-2A = 20 implies A = -10
Então, a solução particular é:
yp = -10 x e^x

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C1 e^3x + C2 e^x - 10x e^x
onde e são constantes arbitrárias.

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