Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) mais uma solução particular que atende a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, precisamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, fazemos uma suposição para
. Porém, como
já está na solução homogênea, multiplicamos por
para evitar redundância. Então, vamos supor:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.