A partir de cada reta passando pelo ponto (10,7), podemos formar um triângulo com vértices (0,0) e as interseções da reta com os eixos positivos. Considere a reta formando o triângulo com a menor área possível. Determine a interseção dessa reta com o eixo-y. Escreva na resposta somente o valor da coordenada y.
[Obs: para resposta não inteira usar 2 casas decimais após a vírgula]
Resposta: square

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um ponto fixo, que é (10,7), e queremos traçar todas as retas que passam por esse ponto. Cada uma dessas retas vai interceptar os eixos positivos em dois pontos: onde a reta corta o eixo x e onde corta o eixo y. Com esses três pontos ( (0,0), a interseção no eixo x e a interseção no eixo y), formamos um triângulo. A questão quer saber qual dessas retas vai formar o triângulo com a menor área possível e, especificamente, qual é a coordenada y onde essa reta intercepta o eixo y.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, interseções com os eixos e cálculo da área de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma expressão geral para a reta que passa pelo ponto (10,7). Podemos escrever a equação da reta na forma geral:
y = mx + b
onde m é o coeficiente angular da reta e b é o coeficiente linear, que representa a interseção da reta com o eixo y.
Como a reta passa pelo ponto (10,7), podemos substituir esses valores na equação para relacionar m e b:
7 = m cdot 10 + b
Isso nos dá:
b = 7 - 10m

Passo 3

Agora, precisamos encontrar onde essa reta intercepta os eixos x e y. Já sabemos que a interseção com o eixo y é (0, b). Para encontrar a interseção com o eixo x, fazemos y = 0 na equação da reta:
0 = m x + b
Resolvendo para x:
x = -bm
Substituindo o valor de b que encontramos anteriormente:
x = -7 - 10mm = -7m + 10
Portanto, a interseção com o eixo x é (-7m + 10, 0).

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do triângulo formado pelos pontos (0,0), a interseção com o eixo x (-7m + 10, 0) e a interseção com o eixo y (0, b). A fórmula da área de um triângulo com vértices em (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) é:
Área = 12 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| Á
Substituindo os pontos:
Área = 12 |0 cdot (0 - b) + (-7m + 10) cdot (b - 0) + 0 cdot (0 - 0)| Á
Simplificando:
Área = 12 |(-7m + 10) cdot b| Á
Como b = 7 - 10m, substituímos:
Área = 12 |(-7m + 10)(7 - 10m)| Á

Passo 5

Para encontrar a reta que minimiza a área desse triângulo, precisamos minimizar a expressão da área em função de m. Vamos simplificar a expressão:
Área = 12 | -7(7 - 10m)m + 10(7 - 10m) | Á
Multiplicando os termos:
Área = 12 | -49m + 70 - 100m | Á
Como a área é sempre positiva, podemos desconsiderar o valor absoluto para encontrar o mínimo:
A(m) = 12 ( -49m + 70 - 100m )
Para encontrar o mínimo, derivamos A(m) em relação a m e igualamos a zero:
dAdm = 12 ( 49m^2 - 100 ) = 0
Resolvendo para m:
49m^2 - 100 = 0
49m^2 = 100
m^2 = 49100
m = pm 710

Passo 6

Agora que temos os valores de m, precisamos verificar qual deles realmente minimiza a área. Substituindo m = 710 na expressão para b:
b = 7 - 10 cdot 710 = 7 - 7 = 0
Isso indica uma reta que passa pela origem, o que não forma um triângulo.
Agora, substituindo m = -710:
b = 7 - 10 cdot (-710) = 7 + 7 = 14
Portanto, o valor que minimiza a área é m = -710 e b = 14.

Resposta

14.00

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