A partir de cada reta passando pelo ponto , podemos formar um triângulo com vértices e as interseções da reta com os eixos positivos. Considere a reta formando o triângulo com a menor área possível. Determine a interseção dessa reta com o eixo-y. Escreva na resposta somente o valor da coordenada y.
[Obs: para resposta não inteira usar 2 casas decimais após a vírgula]
Resposta:
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um ponto fixo, que é , e queremos traçar todas as retas que passam por esse ponto. Cada uma dessas retas vai interceptar os eixos positivos em dois pontos: onde a reta corta o eixo x e onde corta o eixo y. Com esses três pontos (, a interseção no eixo x e a interseção no eixo y), formamos um triângulo. A questão quer saber qual dessas retas vai formar o triângulo com a menor área possível e, especificamente, qual é a coordenada y onde essa reta intercepta o eixo y.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, interseções com os eixos e cálculo da área de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma expressão geral para a reta que passa pelo ponto . Podemos escrever a equação da reta na forma geral:
onde é o coeficiente angular da reta e é o coeficiente linear, que representa a interseção da reta com o eixo y.
Como a reta passa pelo ponto , podemos substituir esses valores na equação para relacionar e :
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar onde essa reta intercepta os eixos x e y. Já sabemos que a interseção com o eixo y é . Para encontrar a interseção com o eixo x, fazemos na equação da reta:
Resolvendo para :
Substituindo o valor de que encontramos anteriormente:
Portanto, a interseção com o eixo x é .
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do triângulo formado pelos pontos , a interseção com o eixo x e a interseção com o eixo y . A fórmula da área de um triângulo com vértices em , e é:
Substituindo os pontos:
Simplificando:
Como , substituímos:
Passo 5
Para encontrar a reta que minimiza a área desse triângulo, precisamos minimizar a expressão da área em função de . Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando os termos:
Área = 12 | -49m + 70 - 100m | Á
Como a área é sempre positiva, podemos desconsiderar o valor absoluto para encontrar o mínimo:
A(m) = 12 ( -49m + 70 - 100m )
Para encontrar o mínimo, derivamos A(m) em relação a m e igualamos a zero:
dAdm = 12 ( 49m^2 - 100 ) = 0
Resolvendo para m:
49m^2 - 100 = 0
49m^2 = 100
m^2 = 49100
m = pm 710
Passo 6
Agora que temos os valores de m, precisamos verificar qual deles realmente minimiza a área. Substituindo m = 710 na expressão para b:
b = 7 - 10 cdot 710 = 7 - 7 = 0
Isso indica uma reta que passa pela origem, o que não forma um triângulo.
Agora, substituindo m = -710:
b = 7 - 10 cdot (-710) = 7 + 7 = 14
Portanto, o valor que minimiza a área é m = -710 e b = 14.