Dados os sistemas a seguir, determine, caso haja, a solução do sistema e classifique o sistema em compatível (ou consistente) determinado, compatível indeterminado ou incompatível.
\left\{\begin{array}{c}2 x-y+3 z=11 \\\\ 4 x-3 y+2 z=0 \\\ x+y+z=6 \\\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas (x,y,z) e pede solução (se existir) e classificação do sistema (compatível determinado, indeterminado ou incompatível). Para resolver, vamos usar eliminação parcial: isolar uma variável numa equação e substituir nas demais, reduzindo a um sistema menor.

Passo 2

Da equação
x + y + z = 6
isolamos
x = 6 - y - z,
e substituímos esse valor de x nas outras três equações.

Passo 3

Substituindo x=6-y-z em cada uma:
na equação 2x - y + 3z = 11,
2(6-y-z)-y+3z=11 \quad\Longrightarrow\quad 12 -2y -2z - y +3z =11 \quad\Longrightarrow\quad -3y + z = -1;
na equação 4x -3y +2z = 0,
4(6-y-z)-3y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad 24 -4y -4z -3y +2z =0 \quad\Longrightarrow\quad 7y + 2z = 24;
na equação 3x + y + z = 4,
3(6-y-z)+y+z=4 \quad\Longrightarrow\quad 18 -3y -3z + y + z =4 \quad\Longrightarrow\quad y + z = 7.
Então obtemos o sistema em (y,z):
\begin{cases} -3y + z = -1,\\\ \;7y + 2z = 24,\\\ \;y + z = 7. \end{cases}

Passo 4

Para resolver, use as duas primeiras e a terceira:
das primeiras e da terceira temos
\begin{cases} -3y + z = -1,\\\ y + z = 7, \end{cases}
logo z = 3y -1 e z = 7 - y. Igualando,
3y - 1 = 7 - y \quad\Longrightarrow\quad 4y = 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 2,
e então
z = 7 - y = 7 - 2 = 5.

Passo 5

Verificamos agora na segunda equação 7y+2z=24:
7\cdot2 + 2\cdot5 = 14 + 10 = 24,
coerente. Por fim, obtemos
x = 6 - y - z = 6 - 2 - 5 = -1.

Passo 6

Encontramos uma única solução (x,y,z)=(-1,2,5) que satisfaz todas as quatro equações. Logo o sistema é compatível determinado.

Resposta

(x,y,z)=(-1,2,5).
O sistema é compatível determinado.

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