Dados os sistemas a seguir, determine, caso haja, a solução do sistema e classifique o sistema em compatível (ou consistente) determinado, compatível indeterminado ou incompatível.
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+6 x_{2}-9 x_{3}=0 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-5 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em três incógnitas e duas equações:
\begin{cases} 3x_{1}+6x_{2}-9x_{3}=0,\\\\ 2x_{1}+4x_{2}-5x_{3}=0. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema e classificação em compatível determinado, indeterminado ou incompatível. Vamos usar eliminação e parâmetrização.

Passo 2

Dividindo a primeira equação por 3, obtemos
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=0,
da qual isolamos
x_{1}=-2x_{2}+3x_{3}.

Passo 3

Substituímos \displaystyle x_{1}=-2x_{2}+3x_{3} na segunda equação:
2(-2x_{2}+3x_{3})+4x_{2}-5x_{3}=0
-4x_{2}+6x_{3}+4x_{2}-5x_{3}=0
x_{3}=0.

Passo 4

Com x_{3}=0, voltamos à expressão de x_{1}:
x_{1}=-2x_{2}+3\cdot 0=-2x_{2}.
Logo, x_{2} é parâmetro livre. Seja x_{2}=t\in\mathbb{R}. Então
x_{1}=-2t,\quad x_{2}=t,\quad x_{3}=0.

Passo 5

Como há infinitas soluções (uma reta de soluções), o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

A solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3})=(-2t,\;t,\;0),\quad t\in\mathbb{R},
e o sistema é compatível indeterminado.

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