Dados os sistemas a seguir, determine, caso haja, a solução do sistema e classifique o sistema em compatível (ou consistente) determinado, compatível indeterminado ou incompatível.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}-7 x_{5}=14 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}+5 x_{5}=-2 \\\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{5}=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com 3 equações e 5 incógnitas \{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\}. Como há mais incógnitas do que equações, é natural esperar soluções infinitas (se o sistema for compatível). Vamos aplicar eliminação de Gauss para descobrir o posto e expressar as variáveis livres.

Passo 2

Escolhemos a primeira equação como pivô e eliminamos x_{1} das equações 2 e 3:
Texto fora de bloco para introduzir a subtração.
\text{Eq2} - 2\times\text{Eq1}: \quad 2x_{1}+6x_{2}+x_{3}-2x_{4}+5x_{5} -2\bigl(x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-7x_{5}\bigr) =-2-2\cdot14
-3x_{3}-8x_{4}+19x_{5}=-30
\text{Eq3} - \text{Eq1}: \quad x_{1}+3x_{2}-x_{3}+2x_{5} -\bigl(x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-7x_{5}\bigr) =-1-14
-3x_{3}-3x_{4}+9x_{5}=-15

Passo 3

A segunda equação reduzida é
-3x_{3}-3x_{4}+9x_{5}=-15.
Dividindo por -3 vemos que
x_{3}+x_{4}-3x_{5}=5,
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x_{3}=5 - x_{4}+3x_{5}.

Passo 4

Substituímos x_{3}=5 - x_{4}+3x_{5} na outra equação reduzida
-3x_{3}-8x_{4}+19x_{5}=-30
-3(5 - x_{4}+3x_{5})-8x_{4}+19x_{5}=-30
-15 +3x_{4}-9x_{5}-8x_{4}+19x_{5}=-30
-5x_{4}+10x_{5}=-15 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=3+2x_{5}.

Passo 5

Agora retornamos à primeira equação
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-7x_{5}=14
e substituímos x_{3}=2+x_{5} (pois 5 - (3+2x_{5})+3x_{5}=2+x_{5}) e x_{4}=3+2x_{5}. Obtemos
x_{1}+3x_{2}+2(2+x_{5})+3(3+2x_{5})-7x_{5}=14
x_{1}+3x_{2}+4+2x_{5}+9+6x_{5}-7x_{5}=14
x_{1}+3x_{2}+x_{5}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1-3x_{2}-x_{5}.
As variáveis x_{2} e x_{5} ficam livres.

Resposta

\begin{cases} x_{1}=1-3s-t,\\\ x_{2}=s,\\\ x_{3}=2+t,\\\ x_{4}=3+2t,\\\ x_{5}=t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.
O sistema é compatível indeterminado.

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