Dados os sistemas a seguir, determine, caso haja, a solução do sistema e classifique o sistema em compatível (ou consistente) determinado, compatível indeterminado ou incompatível.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{5}=0 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}-5 x_{3}-2 x_{4}+4 x_{5}-3 x_{6}=-1 \\\\ 5 x_{3}+10 x_{4}+15 x_{6}=5 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}+8 x_{4}+4 x_{5}+18 x_{6}=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em seis incógnitas \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\}. O conteúdo é eliminação de Gauss para resolver sistemas e identificar compatibilidade. Vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1\\\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\\\ 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 \end{array}\right]
Eliminamos x_1 das linhas 2 e 4 usando L_2-2L_1 e L_4-2L_1, obtendo
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -1\\\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\\\ 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6 \end{array}\right].

Passo 3

As novas equações 2′, 3 e 4′ envolvem só x_3,x_4,x_6:
-\,x_3-2x_4-3x_6=-1,
5x_3+10x_4+15x_6=5,
4x_3+8x_4+18x_6=6.
Note que a segunda é 5 vezes a primeira, logo redundante.

Passo 4

Das equações independentes
x_3+2x_4+3x_6=1
e
4x_3+8x_4+18x_6=6
subtraindo 4 vezes a primeira da segunda, vem
6x_6=2\quad\Longrightarrow\quad x_6=\tfrac13.
Substituindo em x_3+2x_4+3x_6=1 resulta
x_3+2x_4+1=1\quad\Longrightarrow\quad x_3=-2x_4.
Portanto x_4 fica livre.

Passo 5

Restam livres x_2, x_4, x_5. Da primeira equação original
x_1+3x_2-2x_3+2x_5=0
substituindo x_3=-2x_4
x_1+3x_2-2(-2x_4)+2x_5=0 \quad\Longrightarrow\quad x_1=-3x_2-4x_4-2x_5.

Passo 6

Como há três variáveis livres, o sistema tem infinitas soluções. Logo é compatível indeterminado, com solução geral parametrizada por \lambda=x_2, \mu=x_4, \nu=x_5:
\begin{cases} x_1=-3\lambda -4\mu-2\nu,\\\ x_2=\lambda,\\\ x_3=-2\mu,\\\ x_4=\mu,\\\ x_5=\nu,\\\ x_6=\tfrac13. \end{cases}

Resposta

O sistema é compatível indeterminado e sua solução geral é dada por
\begin{cases} x_1=-3\lambda -4\mu-2\nu,\\\ x_2=\lambda,\\\ x_3=-2\mu,\\\ x_4=\mu,\\\ x_5=\nu,\\\ x_6=\tfrac13, \end{cases} \quad\lambda,\mu,\nu\in\mathbb{R}.

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