Dados os sistemas a seguir, determine, caso haja, a solução do sistema e classifique o sistema em compatível (ou consistente) determinado, compatível indeterminado ou incompatível.
\left\{\begin{array}{c}6 x+2 y+4 z=0 \\\\ -9 x-3 y-6 z=0\end{array}\right.

Passo 1

Temos um sistema de duas equações lineares em três incógnitas
\begin{cases} 6x + 2y + 4z = 0,\\\\ -9x - 3y - 6z = 0. \end{cases}
O conteúdo é resolução e classificação de sistemas lineares. Vamos identificar quantas equações efetivas temos (ou seja, o posto do sistema) e, a partir daí, encontrar a solução geral e dizer se o sistema é compatível determinado, indeterminado ou incompatível.

Passo 2

Verificamos se as equações são independentes. Note que, multiplicando a primeira equação por -\tfrac32, obtemos
-\tfrac32\,(6x + 2y + 4z) = -9x -3y -6z,
que é exatamente a segunda equação. Então as duas linhas são dependentes e o posto é 1.

Passo 3

Como só temos uma equação efetiva, ela é
6x + 2y + 4z = 0.
Podemos isolar x:
x = -\frac{2y + 4z}{6} = -\frac{y}{3} - \frac{2z}{3}.

Passo 4

Introduzimos parâmetros para as variáveis livres. Seja
y = s,\quad z = t,\quad s,t\in\mathbb{R}.
Então
x = -\tfrac{1}{3}s - \tfrac{2}{3}t.
A solução geral fica
(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{s}{3} - \tfrac{2t}{3},\;s,\;t\Bigr), \quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Como há infinitas soluções (dois parâmetros livres), o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{s}{3} - \tfrac{2t}{3},\;s,\;t\Bigr), \quad s,t\in\mathbb{R},
e o sistema é compatível indeterminado.

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