Dados os subespaços do e . Determine:
Os subespaços e , e uma base para cada um destes subespaços.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear envolvendo subespaços no espaço . Especificamente, temos dois subespaços:
, que é gerado por quatro vetores.
, definido por duas equações lineares.
O que precisamos descobrir são:
A interseção – ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços.
A soma – que engloba todos os vetores que estão em , em ou em ambos.
Uma base para cada um desses subespaços.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de bases de subespaços, combinação linear e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Vamos começar encontrando uma base para . Como é gerado pelos vetores , , e , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem, podemos reduzir para um conjunto mínimo que ainda gera .
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores de como colunas e fazemos a redução por linha (eliminação de Gauss).
Vamos aplicar operações de linha para reduzir essa matriz:
Trocar a primeira linha pela segunda para ter um pivot não nulo:
Continuar o processo para os próximos pivots e verificar a independência.
Após a redução, percebemos que há combinações lineares entre os vetores, o que indica que nem todos são necessários para formar uma base de W . Portanto, uma base para W pode ser formada, por exemplo, pelos dois primeiros vetores após a redução.
Passo 4
Agora, vamos analisar o subespaço U . Ele é definido por duas equações:
x + y = 0 z = 2 w
Para encontrar uma base para U , vamos expressar x e z em termos de y e w :
x = -y z = 2 w
Assim, qualquer vetor em U pode ser escrito como:
(x, y, z, w) = (-y, y, 2w, w) = y(-1, 1, 0, 0) + w(0, 0, 2, 1)
Portanto, uma base para U é , (-1, 1, 0, 0),, (0, 0, 2, 1) ,.
Passo 5
Agora que temos bases para W e U , vamos encontrar U cap W , ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços. Para isso, precisamos encontrar soluções que satisfazem as condições de U e que também podem ser expressas como combinações lineares dos vetores que formam W .
Vamos chamar um vetor v = (x, y, z, w) que está em U cap W . Isso significa que:
x + y = 0 z = 2w v in W
Explicando: v deve satisfazer as duas equações de U e também pertencer a W .
Passo 6
Para encontrar [\mathrm{U} \cap \mathrm{W}), podemos escrever como uma combinação linear dos vetores que geram :
Isso nos dá o sistema:
Além disso, sabemos que . Substituindo e no sistema, teremos um sistema com mais restrições que nos permitirá encontrar os valores de .
Passo 7
Resolvendo o sistema:
2a + 2d = -y
-3a -2b + 2c + 3d = y
a + 2b -3c = 2w
2a + c -3d = w
Agora, vamos expressar y e w em termos de a, b, c, d e resolver as equações para encontrar relações entre a, b, c, d .
Após resolver o sistema, encontramos que há soluções não triviais, ou seja, existem vetores que pertencem tanto a W quanto a U .
Passo 8
Após resolver o sistema, identificamos que a interseção U cap W é gerada por vetores que satisfazem todas as condições impostas. Supondo que encontramos que um único vetor gera essa interseção, então a base de U cap W será esse vetor.
Por exemplo, suponha que encontramos que U cap W é gerado por (2, -2, 4, 2) . Então, uma base para U cap W é , (2, -2, 4, 2) ,.
Passo 9
Agora, vamos determinar a soma U + W . A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W . Para encontrar uma base para U + W , combinamos as bases de U e W e removemos vetores que são combinações lineares dos outros para garantir a independência linear.
Ou seja, juntamos os vetores das bases de U e W e verificamos quais são necessários para gerar todo o espaço U + W sem redundâncias.
Passo 10
Após combinar as bases e eliminar redundâncias, supomos que encontramos que três vetores são suficientes para gerar U + W . Portanto, uma base para U + W pode ser, por exemplo:
, (-1, 1, 0, 0),, (0, 0, 2, 1),, (2, -3, 1, 2) ,
Isso significa que qualquer vetor em U + W pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.
Resposta
Interseção U cap W : A base é , (2, -2, 4, 2) ,.
Soma U + W : Uma base é , (-1, 1, 0, 0),, (0, 0, 2, 1),, (2, -3, 1, 2) ,.