Mostre a seguinte afirmação. Se B=u, v, w é base de V então u+v, v+w, w também é base de V .

Passo 1

O enunciado diz que B=u,v,w é uma base do espaço vetorial V. Isso significa que u,v,w são linearmente independentes e geram V. Queremos mostrar que a lista ,u+v,;v+w,;w também é base de V. Para isso vamos provar que ela gera V e que é linearmente independente.

Passo 2

Mostramos que ,u+v,;v+w,;w gera V. Como B gera V, basta expressar u e v como combinação linear de u+v,;v+w,;w. Primeiro, isolamos v usando
v = (v+w) - w
Em seguida, escrevemos
u = (u+v) - v = (u+v) - l[(v+w)-wr] = (u+v) - (v+w) + w
Portanto u e v estão em Spanu+v,v+w,w. Como w obviamente também está, concluímos que u+v,v+w,w gera os três vetores u,v,w e, como estes geram V, temos
Spanu+v,v+w,w = V

Passo 3

Agora mostramos que u+v,v+w,w é linearmente independente. Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,(u+v) ;+; b,(v+w) ;+; c,w ;=; 0
Expandindo,
a,u + a,v + b,v + b,w + c,w = a,u + (a+b),v + (b+c),w = 0
Como u,v,w é base, os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero:
a = 0, a + b = 0, b + c = 0
Da primeira equação vem a=0. Substituindo em a+b=0 obtemos b=0. E então de b+c=0 segue c=0. Logo só a combinação trivial anula a soma, o que prova a independência linear.

Passo 4

Concluímos que u+v,;v+w,;w é um conjunto de três vetores em V que gera V e é linearmente independente. Como dim V=3 (pois B tem três vetores), qualquer conjunto de três vetores que gere V e seja independente é base de V.

Resposta

u+v,;v+w,;w é base de V.

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