Mostre a seguinte afirmação. Se
é base de
então
também é base de V .
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base do espaço vetorial
. Isso significa que
são linearmente independentes e geram
. Queremos mostrar que a lista
também é base de
. Para isso vamos provar que ela gera
e que é linearmente independente.
Passo 2
Mostramos que
gera
. Como
gera
, basta expressar
e
como combinação linear de
. Primeiro, isolamos
usando
Em seguida, escrevemos
Portanto
e
estão em
. Como
obviamente também está, concluímos que
gera os três vetores
e, como estes geram
, temos
Passo 3
Agora mostramos que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
Expandindo,
Como
é base, os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero:
Da primeira equação vem
. Substituindo em
obtemos
. E então de
segue
. Logo só a combinação trivial anula a soma, o que prova a independência linear.
Passo 4
Concluímos que
é um conjunto de três vetores em
que gera
e é linearmente independente. Como
(pois
tem três vetores), qualquer conjunto de três vetores que gere
e seja independente é base de
.