Dados os subespaços do R^4, W=[(2,-3,1,2),(0,-2,2,0),(0,2,-3,1),(2,3,0,-3)] e U=(x, y, z, w) ; x+y=0 e z=2 w. Determine:
O conjunto de equações que caracterizam W .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto de equações que caracterizam o subespaço W no espaço R^4. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, a gente vai precisar entender como encontrar as equações que descrevem todos os vetores que pertencem a W .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que W é gerado pelos vetores (2,-3,1,2), (0,-2,2,0), (0,2,-3,1) e (2,3,0,-3). Nosso objetivo é encontrar todas as combinações lineares desses vetores. Para isso, consideramos um vetor genérico (x,y,z,w) em W , que pode ser escrito como:
(x, y, z, w) = a(2,-3,1,2) + b(0,-2,2,0) + c(0,2,-3,1) + d(2,3,0,-3)
onde a, b, c, d são escalares.

Passo 3

Agora, vamos expandir essa expressão:
x = 2a + 0b + 0c + 2d y = -3a -2b + 2c + 3d z = a + 2b -3c + 0d w = 2a + 0b + c -3d
Isso nos dá um sistema de equações que relaciona x, y, z, w com os coeficientes a, b, c, d .

Passo 4

Como queremos as equações que caracterizam W , precisamos eliminar os parâmetros a, b, c, d para obter relações apenas entre x, y, z, w . Vamos montar uma matriz aumentada com os coeficientes:
2 & 0 & 0 & 2 & | & x -3 & -2 & 2 & 3 & | & y 1 & 2 & -3 & 0 & | & z 2 & 0 & 1 & -3 & | & w
Nossa meta é resolver esse sistema para encontrar as relações entre x, y, z, w .

Passo 5

Aplicando métodos de eliminação (como o método de Gauss), vamos manipular as linhas para chegar a equações simplificadas. Isso envolve combinar as equações para eliminar os parâmetros a, b, c, d .
Depois de realizar as operações necessárias, encontramos que as equações que caracterizam W são:
x - w = 0 2y + z + 3w = 0
Essas duas equações descrevem todos os vetores (x, y, z, w) que pertencem a W .

Resposta

As equações que caracterizam W são:
x - w = 0 2y + z + 3w = 0

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