Dados os subespaços do e . Determine:
O conjunto de equações que caracterizam W .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto de equações que caracterizam o subespaço no espaço . A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, a gente vai precisar entender como encontrar as equações que descrevem todos os vetores que pertencem a .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é gerado pelos vetores , , e . Nosso objetivo é encontrar todas as combinações lineares desses vetores. Para isso, consideramos um vetor genérico em , que pode ser escrito como:
onde são escalares.
Passo 3
Agora, vamos expandir essa expressão:
Isso nos dá um sistema de equações que relaciona com os coeficientes .
Passo 4
Como queremos as equações que caracterizam , precisamos eliminar os parâmetros para obter relações apenas entre . Vamos montar uma matriz aumentada com os coeficientes:
Nossa meta é resolver esse sistema para encontrar as relações entre x, y, z, w .
Passo 5
Aplicando métodos de eliminação (como o método de Gauss), vamos manipular as linhas para chegar a equações simplificadas. Isso envolve combinar as equações para eliminar os parâmetros a, b, c, d .
Depois de realizar as operações necessárias, encontramos que as equações que caracterizam W são:
x - w = 0 2y + z + 3w = 0
Essas duas equações descrevem todos os vetores (x, y, z, w) que pertencem a W .