Dados os subespaços do R^4, W=[(2,-3,1,2),(0,-2,2,0),(0,2,-3,1),(2,3,0,-3)] e U=(x, y, z, w) ; x+y=0 e z=2 w. Determine:
Uma base para W.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear. O problema pede para encontrar uma base para o subespaço W do espaço R^4 . Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços, bases e independência linear. A gente vai usar operações com matrizes para descobrir quais vetores formam essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores que geram o subespaço W . Esses vetores são:
v1 = (2, -3, 1, 2) v2 = (0, -2, 2, 0) v3 = (0, 2, -3, 1) v4 = (2, 3, 0, -3)
Queremos saber quais desses vetores são linheramente independentes, ou seja, não podem ser escritos como combinação linear dos outros. Para descobrir isso, vamos organizar esses vetores em uma matriz e fazer operações para deixar ela em forma escalonada.

Passo 3

Vamos montar a matriz onde cada vetor é uma linha:
A = 2 & -3 & 1 & 2 0 & -2 & 2 & 0 0 & 2 & -3 & 1 2 & 3 & 0 & -3
Nosso objetivo é simplificar essa matriz usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra) para chegar a uma forma onde fica fácil identificar os vetores independentes.

Passo 4

Começamos pela primeira coluna. Já que temos um 2 na primeira posição, vamos usar isso para eliminar os 2’s na primeira coluna abaixo dela.
  • Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1 = (2-2, 3-(-3), 0-1, -3-2) = (0, 6, -1, -5)
Agora, a matriz fica:
2 & -3 & 1 & 2 0 & -2 & 2 & 0 0 & 2 & -3 & 1 0 & 6 & -1 & -5

Passo 5

Vamos para a segunda coluna. Temos um -2 na segunda linha, segunda coluna. Vamos usar esse número para eliminar os outros números nessa coluna.
  • Primeiramente, multiplicamos a segunda linha por 1 para facilitar:
Linha 2 = Linha 2 (Mantém-se igual) é
  • Agora, vamos eliminar o 2 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 = (0+0, 2+(-2), -3+2, 1+0) = (0, 0, -1, 1)
  • Em seguida, eliminamos o 6 na quarta linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + 3 times Linha 2 = (0+0, 6+3(-2), -1+3(2), -5+3(0)) = (0, 0, 5, -5)
A matriz agora fica assim:
2 & -3 & 1 & 2 0 & -2 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 5 & -5

Passo 6

Seguimos para a terceira coluna. Temos um -1 na terceira linha, terceira coluna.
  • Vamos usar esse -1 para eliminar o 5 na quarta linha, terceira coluna. Para isso, adicionamos 5 vezes a terceira linha à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + 5 times Linha 3 = (0+0, 0+0, 5+5(-1), -5+5(1)) = (0, 0, 0, 0)
Agora, a matriz fica:
2 & -3 & 1 & 2 0 & -2 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Observamos que na última linha temos apenas zeros. Isso significa que a quarta linha não traz nenhuma informação nova, ou seja, o quarto vetor pode ser escrito como combinação linear dos anteriores. Portanto, podemos desconsiderá-lo.
Os vetores correspondentes às linhas que não são todas zero são:
v1 = (2, -3, 1, 2) v2 = (0, -2, 2, 0) v3 = (0, 0, -1, 1)

Passo 8

Esses três vetores são linearmente independentes e não têm vetores redundantes. Portanto, eles formam uma base para W . Isso significa que qualquer vetor em W pode ser escrito como combinação linear desses três vetores, e nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.

Resposta

Uma base para W é formada pelos vetores (2, -3, 1, 2), (0, -2, 2, 0) e (0, 0, -1, 1).

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