Dados os subespaços do e . Determine:
Uma base para .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear. O problema pede para encontrar uma base para o subespaço do espaço . Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços, bases e independência linear. A gente vai usar operações com matrizes para descobrir quais vetores formam essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores que geram o subespaço . Esses vetores são:
Queremos saber quais desses vetores são linheramente independentes, ou seja, não podem ser escritos como combinação linear dos outros. Para descobrir isso, vamos organizar esses vetores em uma matriz e fazer operações para deixar ela em forma escalonada.
Passo 3
Vamos montar a matriz onde cada vetor é uma linha:
Nosso objetivo é simplificar essa matriz usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra) para chegar a uma forma onde fica fácil identificar os vetores independentes.
Passo 4
Começamos pela primeira coluna. Já que temos um 2 na primeira posição, vamos usar isso para eliminar os 2’s na primeira coluna abaixo dela.
Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1 = (2-2, 3-(-3), 0-1, -3-2) = (0, 6, -1, -5)
Observamos que na última linha temos apenas zeros. Isso significa que a quarta linha não traz nenhuma informação nova, ou seja, o quarto vetor pode ser escrito como combinação linear dos anteriores. Portanto, podemos desconsiderá-lo.
Os vetores correspondentes às linhas que não são todas zero são:
Esses três vetores são linearmente independentes e não têm vetores redundantes. Portanto, eles formam uma base para W . Isso significa que qualquer vetor em W pode ser escrito como combinação linear desses três vetores, e nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Resposta
Uma base para W é formada pelos vetores (2, -3, 1, 2), (0, -2, 2, 0) e (0, 0, -1, 1).