Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
a) U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+y+z=0\right\}, W=\{(x, y, 0) / x, y \in \mathbb{R}\}, V=\mathbb{R}^{3}.
b) U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / x+y=t-z=0\right\}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / z=t=0\right\}, V=\mathbb{R}^{4}.
c) U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x=0\right\}, W=[(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21),(-1,-2,-3)], V=\mathbb{R}^{3}.
d) U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / x-y+t+z=0\right\}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / x+y-t+z=0\right\}, V=\mathbb{R}^{4}.
i) uma base e a dimensão de U.
ii) uma base e a dimensão de W.
iii) uma base e a dimensão de U+W.
iv) uma base e a dimensão de U \cap W.
Passo 1
O enunciado pede, para cada um dos itens (a)–(d), as quatro coisas abaixo (usarei estas letras em todas as partes):
i) uma base e a dimensão de U.
ii) uma base e a dimensão de W.
iii) uma base e a dimensão de U+W.
iv) uma base e a dimensão de U\cap W.
As informações dadas em cada item (peguei exatamente do enunciado):
Lembrete útil (fórmulas / ideias que vou usar ao longo da resolução):
Para subespaços dados por equações lineares, parametrize as soluções: escolha variáveis livres e escreva vetores como combinação linear — esses coeficientes livres dão uma base natural.
Para espaços gerados por vetores, reduza à parte linearmente independente (checar dependência linear) — um conjunto maximal livre forma base.
Fórmula dimensão da soma:
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Quando eu usar um número ou vetor, ele estará no formato TeX (como pede a sintaxe).
Passo 2
(a) base e dimensão de U.
Explicação e método: U é o conjunto de (x,y,z) que satisfazem uma equação linear x+y+z=0. Esse tipo de conjunto é um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3, logo \dim U=2. Para achar uma base, resolvo a equação parametrizando: tomo x=s,\\ y=t livres; então z=-x-y=-s-t. Assim
(x,y,z)=(s,t,-s-t)=s(1,0,-1)+t(0,1,-1).
Portanto os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) geram U. Vou checar que são independentes (não múltiplos um do outro), logo formam uma base.
Conclusão: uma base de U é \{(1,0,-1),(0,1,-1)\} e \dim U=2.
Passo 3
(a) base e dimensão de W.
Explicação e método: W=\{(x,y,0)\} é o plano do eixo z=0. É claro que W=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}. Esses dois vetores são independentes, então são uma base e \dim W=2.
Conclusão: base \{(1,0,0),(0,1,0)\}, \dim W=2.
Passo 4
(a) U+W e U\cap W.
Como ideia prática: testar se U+W é todo \mathbb{R}^3 (dim 3) ou só um subespaço menor. Uso o critério de gerar um vetor arbitrário (a,b,c) como soma u+w com u\in U,\\ w\in W.
Método construtivo: dado (a,b,c), quero u=(x_u,y_u,z_u)\in U com x_u+y_u+z_u=0 e w=(x_w,y_w,0) tal que u+w=(a,b,c). Das componentes: z_u + 0 = c então z_u=c. Como x_u+y_u+z_u=0, temos x_u+y_u=-z_u=-c. Posso escolher, por exemplo, x_u=-c,\\ y_u=0 (qualquer escolha que some -c serve). Então u=(-c,0,c)\in U e w=(a+c,b,0)\in W. Isso mostra que todo (a,b,c) é soma de algo em U mais algo em W. Logo U+W=\mathbb{R}^3 e \dim(U+W)=3.
Agora U\cap W: é conjunto de vetores com z=0 (porque W) e x+y+z=0 (porque U). Com z=0, a segunda reduz a x+y=0, i.e. y=-x. Logo vetores do tipo (x,-x,0)=x(1,-1,0). É uma reta pelo zero, dimensão 1, base \{(1,-1,0)\}.
Passo 5
Resumo final do item (a) (já justificado nos passos anteriores).
U: base \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}, \dim U=2.
W: base \{(1,0,0),(0,1,0)\}, \dim W=2.
U+W=\mathbb{R}^3: base (p.ex.) \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim(U+W)=3.
U\cap W: base \{(1,-1,0)\}, \dim(U\cap W)=1.
Passo 6
(b) base e dimensão de U.
Explicação e método: as equações que definem U são x+y=0 e t-z=0. São duas equações lineares independentes em 4 variáveis, então esperamos \dim U=4-2=2. Parametrizo escolhendo variáveis livres: seja y=s,\\ z=r. Então x=-y=-s e t=z=r. Logo
(x,y,z,t)=(-s,s,r,r)=s(-1,1,0,0)+r(0,0,1,1).
Os dois vetores (-1,1,0,0) e (0,0,1,1) são independentes e geram U.
Conclusão: base \{(-1,1,0,0),(0,0,1,1)\}, \dim U=2.
Passo 7
(b) base e dimensão de W.
Explicação e método: as condições z=0 e t=0 implicam vetores da forma (x,y,0,0). Assim
W=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\},
que são independentes. Logo \dim W=2.
Conclusão: base \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}, \dim W=2.
Passo 8
(b) U+W e U\cap W.
Primeiro observar conjuntos geradores: U é gerado por (-1,1,0,0) e (0,0,1,1). W é gerado por (1,0,0,0) e (0,1,0,0). Note que (-1,1,0,0)=- (1,0,0,0)+(0,1,0,0), então esse vetor de U já está em \operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}=W. Assim U+W é gerado por (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1). Esses três são linearmente independentes (os dois primeiros agem nas coordenadas 1 e 2; o terceiro tem componentes apenas em 3 e 4), então \dim(U+W)=3.
Para U\cap W: precisa satisfazer simultaneamente as equações de U e W. Em W temos z=0,t=0. Em U temos x+y=0 e t=z. Com z=0,t=0 a condição t=z está satisfeita; resta x+y=0. Logo vetores do tipo (x,-x,0,0)=x(1,-1,0,0). É uma reta, dimensão 1, base \{(1,-1,0,0)\}.
Passo 9
Resumo final do item (b).
U: base \{(-1,1,0,0),(0,0,1,1)\}, \dim U=2.
W: base \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}, \dim W=2.
U+W: base \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)\}, \dim(U+W)=3.
U\cap W: base \{(1,-1,0,0)\}, \dim(U\cap W)=1.
Passo 10
(c) base e dimensão de U.
Explicação e método: U=\{(0,y,z)\} é o plano formado pelos vetores com primeira coordenada zero. Uma base natural é \{(0,1,0),(0,0,1)\} e \dim U=2.
Passo 11
(c) base e dimensão de W.
Método: W é dado como gerador por quatro vetores. Preciso extrair uma base (remover redundâncias). Os vetores são
Observação imediata: v_4=-v_2, então v_4 é redundante.
Para decidir se v_1,v_2,v_3 são independentes, monto a matriz cujas colunas são esses vetores e calculo o determinante (ou vejo se há combinação linear). A matriz
tem determinante diferente de zero (o cálculo direto dá \det A=12\neq0), portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Em \mathbb{R}^3 isso já é um conjunto de 3 vetores independentes, então formam base e \dim W=3. Assim W=\mathbb{R}^3.
Logo uma base conveniente é \{(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21)\}.
Passo 12
(c) U+W e U\cap W.
Como W=\mathbb{R}^3, temos U+W=\mathbb{R}^3 e \dim(U+W)=3. Também U\cap W=U (interseção com todo o espaço é o próprio U), então U\cap W tem base \{(0,1,0),(0,0,1)\} e \dim(U\cap W)=2.
Passo 13
Resumo final do item (c).
U: base \{(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim U=2.
W: base \{(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21)\}, \dim W=3 (portanto W=\mathbb{R}^3).
U+W=\mathbb{R}^3: base p.ex. \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim(U+W)=3.
U\cap W=U: base \{(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim(U\cap W)=2.
Passo 14
(d) base e dimensão de U.
Explicação e método: U é o conjunto de soluções de x-y+t+z=0, uma equação linear em 4 variáveis, portanto \dim U=4-1=3. Parametrizo escolhendo, por exemplo, y,s;\\ z,r;\\ t,s' — vou escolher y=a,\\ z=b,\\ t=c livres e escrever x em função deles:
Somando as duas equações: 2x+2z=0\Rightarrow x=-z\]. Subtraindo a primeira da segunda: \(2y-2t=0\Rightarrow y=t. Logo x=-z e y=t. Posso parametrizar por z=s,\\ t=r (ou usar s,r como livres):
Isso mostra \dim(U\cap W)=2 e uma base é \{(-1,0,1,0),(0,1,0,1)\}.]
Passo 17
(d) U+W.
Uso a fórmula de dimensão:
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=3+3-2=4.
Como \dim(U+W)=4 em V=\mathbb{R}^4, segue U+W=\mathbb{R}^4. Uma base conveniente para U+W é a base canônica \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.
Passo 18
Resumo final do item (d).
U: base \{(1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}, \dim U=3.
W: base \{(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)\}, \dim W=3.
U+W=\mathbb{R}^4: base p.ex. \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}, \dim(U+W)=4.
U\cap W: base \{(-1,0,1,0),(0,1,0,1)\}, \dim(U\cap W)=2.
Resposta
(a)
i) Base de U: \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}, \dim U=2.
ii) Base de W: \{(1,0,0),(0,1,0)\}, \dim W=2.
iii) Base de U+W: \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim(U+W)=3.
iv) Base de U\cap W: \{(1,-1,0)\}, \dim(U\cap W)=1.
(b)
i) Base de U: \{(-1,1,0,0),(0,0,1,1)\}, \dim U=2.
ii) Base de W: \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}, \dim W=2.
iii) Base de U+W: \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)\}, \dim(U+W)=3.
iv) Base de U\cap W: \{(1,-1,0,0)\}, \dim(U\cap W)=1.
(c)
i) Base de U: \{(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim U=2.
ii) Base de W: \{(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21)\}, \dim W=3.
iii) Base de U+W: \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (ou qualquer base de \mathbb{R}^3), \dim(U+W)=3.
iv) Base de U\cap W: \{(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim(U\cap W)=2.
(d)
i) Base de U: \{(1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}, \dim U=3.
ii) Base de W: \{(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)\}, \dim W=3.
iii) Base de U+W: \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}, \dim(U+W)=4.
iv) Base de U\cap W: \{(-1,0,1,0),(0,1,0,1)\}, \dim(U\cap W)=2.