Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M_{2}(\mathbb{R}) :
\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; c=a-3 b\right. e \left.d=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá um subconjunto de M_{2}(\mathbb{R}) formado por todas as matrizes \left(\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right) sujeitas às restrições c=a-3b e d=0.
O que é pedido:
  • Determinar a dimensão desse subespaço.
  • Fornecer uma base para esse subespaço.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As entradas a,b,c,d são números reais.
  • As duas condições relacionam as entradas: c=a-3b e d=0.
  • Qualquer matriz do subespaço pode ser descrita por apenas alguns parâmetros livres (a descobrir).

Passo 2

Parametrizar as matrizes que satisfazem as condições. Começo escrevendo a forma geral da matriz com as restrições aplicadas:
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} \quad\text{sujeita a}\quad c=a-3b,\\ d=0.
Substituindo c e d obtemos a forma somente em função de a e b:
\begin{pmatrix} a & b \\\ a-3b & 0 \end{pmatrix}.
Então as variáveis livres são a e b (cada uma pode ser qualquer número real).

Passo 3

Escrever essa matriz como combinação linear de matrizes “canônicas” que multiplicam os parâmetros a e b. Faço fatoração por a e por b:
\begin{pmatrix} a & b \\\ a-3b & 0 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -3 & 0 \end{pmatrix}.
Portanto todo vetor (matriz) do subespaço é combinação linear das duas matrizes
M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -3 & 0 \end{pmatrix}.
Isso mostra que o subespaço é contido no subespaço gerado por \{M_1,M_2\}, e também que \{M_1,M_2\} gera todo o subespaço (pois qualquer matriz do subespaço é obtida escolhendo a,b) — ou seja, \{M_1,M_2\} é um conjunto gerador.
Explicação curta do conceito usado: um conjunto de matrizes gera o subespaço se qualquer matriz do subespaço pode ser escrita como combinação linear das matrizes desse conjunto. Aqui mostramos explicitamente essa combinação com coeficientes a e b.

Passo 4

Verificar se M_1 e M_2 são linearmente independentes (necessário para serem uma base). Para isso, suponha que exista escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha M_1+\beta M_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as entradas:
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0&1\\\ -3&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\\ \alpha-3\beta & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando entradas correspondentes obtemos o sistema de equações reais
\alpha = 0,\qquad \beta = 0,\qquad \alpha-3\beta = 0.
As duas primeiras equações já dão \alpha=0 e \beta=0, que satisfazem a terceira. Logo a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação trivial \alpha=\beta=0. Portanto M_1 e M_2 são linearmente independentes.
Breve lembrete didático: linearmente independentes significa que nenhuma das matrizes do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras; a verificação usual é exatamente fazer a combinação igual a zero e ver se só ocorre a solução trivial.

Passo 5

Como \{M_1,M_2\} gera o subespaço e é formada por duas matrizes linearmente independentes, esse conjunto é uma base do subespaço. O número de vetores na base é a dimensão do subespaço, logo a dimensão é 2.

Resposta

dimensão = 2
base = \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-3&0\end{pmatrix}\right\}]

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