Dados subespaços H e K de um espaço vetorial V, a soma de H e K, denotada de H+K, é o conjunto de todos os vetores em V que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em H e outro em K, ou seja:
H+K=v: w=h+k mid h in H e k in K
b) Mostre que H e K são subespaços de H+K.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , de um espaço vetorial . A soma desses subespaços, denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e outro de . Nosso objetivo é mostrar que tanto quanto são subespaços de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e como verificar se um conjunto é um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também está no subespaço).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar, o resultado também está no subespaço).
Agora, queremos mostrar que é um subespaço de .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero de está em . Sabemos que o zero está em porque é um subespaço. Além disso, podemos escrever o vetor zero como , onde e . Portanto, está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a soma de dois vetores em está também em . Seja e vetores em . A soma está em porque é um subespaço. Além disso, podemos escrever essa soma como , onde e . Assim, a soma está em .

Passo 5

Por último, vamos verificar se a multiplicação de um vetor de por um escalar está em . Seja um escalar e um vetor em . O produto está em porque é um subespaço. Podemos escrever , onde e . Portanto, está em .

Passo 6

Com isso, mostramos que satisfaz as três propriedades para ser um subespaço de . A mesma lógica se aplica para . Ou seja, o vetor zero está em , a soma de dois vetores de está em e a multiplicação de um vetor de por um escalar também está em . Portanto, também é um subespaço de .

Resposta

Assim, demonstramos que tanto quanto são subespaços de .

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