Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de Pn (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que n ) para um valor apropriado de n. Justifique suas respostas:
a) Todos os polinômios da forma P(t)=a t^2, com a em R ;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto de todos os polinômios da forma , onde é um número real, é um subespaço de (o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você somar dois vetores de , o resultado também está em ).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor de por um número real, o resultado também está em ).

Passo 3

Agora, vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado P(t) + Q(t) = a t^2 + b t^2 = (a + b) t^2 .
1. Vetor zero:
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio constante zero, ou seja, c cdot P(t) = c cdot a t^2 = (c a) t^2 . Se escolhermos , então , que está no conjunto. Portanto, a primeira condição é satisfeita.
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios no conjunto: e . A soma deles é:
Como é um número real, também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um polinômio do conjunto por um escalar :
Como é um número real, também está no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Além disso, precisamos garantir que os polinômios do conjunto estão dentro de . Como nossos polinômios são da forma , o grau deles é no máximo 2. Portanto, para que eles pertençam a , devemos ter .

Resposta

Sim, o conjunto de todos os polinômios da forma com é um subespaço de para todo .

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