Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de
(conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que
) para um valor apropriado de
. Justifique suas respostas:
a) Todos os polinômios da forma
, com
em
a) Todos os polinômios da forma
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto de todos os polinômios da forma
, onde
é um número real, é um subespaço de
(o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você somar dois vetores de
, o resultado também está em ). - É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor de
por um número real, o resultado também está em ).
Passo 3
Agora, vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado
.
1. Vetor zero:
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio constante zero, ou seja, . Se escolhermos
, então
, que está no conjunto. Portanto, a primeira condição é satisfeita.
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio constante zero, ou seja,
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios no conjunto: e
. A soma deles é:
Vamos considerar dois polinômios no conjunto:
Como
é um número real,
também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um polinômio do conjunto por um escalar :
Vamos multiplicar um polinômio do conjunto por um escalar
Como
é um número real,
também está no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Além disso, precisamos garantir que os polinômios do conjunto estão dentro de
. Como nossos polinômios são da forma
, o grau deles é no máximo 2. Portanto, para que eles pertençam a
, devemos ter
.
Resposta
Sim, o conjunto de todos os polinômios da forma
com
é um subespaço de
para todo
.