Dados F(x, y, z)=0, tal que f(x, y), calcule implicitamente as derivadas
(a) F=x^2+2 y^3+x y z-1, partial zpartial x e partial zpartial y

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação implícita
;F(x,y,z)=0,
em que
F(x,y,z)=x^2+2y^3+x y z-1
e pede as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y obtidas por diferenciação implícita.

Passo 2

Para aplicar diferenciação implícita, calculamos primeiro as derivadas parciais de F em relação a x, y e z:
partial Fpartial x = 2x + y z
partial Fpartial y = 6y^2 + x z
partial Fpartial z = x y

Passo 3

A diferenciação implícita dá as relações
partial Fpartial x + partial Fpartial z,partial zpartial x = 0
partial Fpartial y + partial Fpartial z,partial zpartial y = 0
Isolando partial z/partial x e partial z/partial y, vem
partial zpartial x = -,partial Fpartial xpartial Fpartial z e partial zpartial y = -,partial Fpartial ypartial Fpartial z

Passo 4

Substituindo os valores de partial F/partial x, partial F/partial y e partial F/partial z, obtemos
partial zpartial x = -,2x + y zx y partial zpartial y = -,6y^2 + x zx y

Resposta

partial zpartial x = -2x + y zx y, partial zpartial y = -6y^2 + x zx y

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