A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno de um eixo específico. Ache o volume do sólido resultante.
x=2 y^2, y >= 0, x=2 ao redor da reta y=-2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=-2 a região do plano limitada por
x = 2y^2, y>=0, x = 2
O conteúdo é “volume por revolução” e vamos usar o método dos cascos cilíndricos, já que a reta de rotação é horizontal e facilitamos usando fatias horizontais.

Passo 2

Precisamos dos limites em y. A região é limitada à direita por x=2 e à esquerda por x=2y^2. Igualando
2y^2 = 2Longrightarrow y^2=1Longrightarrow y=1 (como y>=0)
Logo y varia de 0 a 1.

Passo 3

Para um “casco” em altura y, espessura dy:
– Raio até o eixo y=-2:
r(y)=l(y-(-2)r)=y+2
– Altura do casco (diferença em x):
h(y)=xdir-xesq=2-2y^2
O volume é
V = 2piintegraly=0^1r(y),h(y),dy =2piintegral0^1(y+2),(2-2y^2),dy

Passo 4

Expandindo o integrando:
(y+2)(2-2y^2)=2y+4-2y^3-4y^2=2+ y-2y^2 -y^3
Então
V =2piintegral0^1l(2+ y-2y^2 -y^3r),dy =2pil[2y+tfracy^22-tfrac2y^33-tfracy^44r]0^1

Passo 5

Calculando em y=1:
2cdot1 + tfrac12 - tfrac23-tfrac14 =tfrac24+6-8-312=tfrac1912
Multiplicando por 2pi:
V =2picdottfrac1912=tfrac19pi3

Resposta

19pi3

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