Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumk=2^infty 2k^2-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumk=2^infty2k^2-1
ou seja, decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar sua soma. Vamos usar dois fatos:
  1. Para testar convergência, basta comparar com a série 1/k^2 (uma p-série com p=2>1).
  2. Para calcular a soma exata, vamos usar decomposição em frações parciais, obtendo uma série telescópica.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais temos
2k^2-1 =2(k-1)(k+1) =Ak-1+Bk+1,
onde 2 = A(k+1)+B(k-1). Igualando coeficientes ou escolhendo valores de k, obtemos A=1 e B=-1. Logo,
2k^2-1 =1k-1-1k+1

Passo 3

Definimos a soma parcial
Sn = sumk=2^nl(1k-1-1k+1r)
Ao escrever os primeiros termos vemos o “telescópio”:
Sn =l(tfrac11-tfrac13r) +l(tfrac12-tfrac14r) +l(tfrac13-tfrac15r) +cdots +l(tfrac1n-1-tfrac1n+1r)
Quase tudo cancela, sobrando
Sn = 11 + 12 ;-;1n - 1n+1

Passo 4

Como limntoinfty1/n = 0 e limntoinfty1/(n+1)=0, temos
limntoinftySn =1 + tfrac12 = tfrac32
Além disso, a comparação com a série 1/k^2 garante convergência absoluta. Portanto a série converge e sua soma é tfrac32.

Resposta

A série é convergente e
sumk=2^infty2k^2-1 = 32

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