Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
ou seja, decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar sua soma. Vamos usar dois fatos:
- Para testar convergência, basta comparar com a série
(uma -série com ). - Para calcular a soma exata, vamos usar decomposição em frações parciais, obtendo uma série telescópica.
Passo 2
Fazendo a decomposição em frações parciais temos
onde
. Igualando coeficientes ou escolhendo valores de
, obtemos
e
. Logo,
Passo 3
Definimos a soma parcial
Ao escrever os primeiros termos vemos o “telescópio”:
Quase tudo cancela, sobrando
Passo 4
Como
e
, temos
Além disso, a comparação com a série
garante convergência absoluta. Portanto a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série é convergente e