Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
\left\{0, \frac{1}{4}, \frac{2}{9}, \frac{3}{16}, \cdots\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma expressão (uma fórmula explícita) para a sequência cujos termos são
\left\{0, \frac{1}{4}, \frac{2}{9}, \frac{3}{16}, \cdots\right\}.
Informações dadas: os termos listados, em ordem, são \;0,\;\frac{1}{4},\;\frac{2}{9},\;\frac{3}{16},\ldots.

Passo 2

Vamos olhar separadamente para numeradores e denominadores para perceber um padrão.
Os numeradores são \;0,1,2,3,\ldots.
Os denominadores são \;1,4,9,16,\ldots, que são os quadrados perfeitos.

Passo 3

A partir dos padrões:
  • Como os numeradores seguem 0,1,2,3,\ldots, uma expressão conveniente para o numerador é n-1 se começarmos a indexar por n=1 (porque para n=1 temos 1-1=0).
  • Como os denominadores são 1,4,9,16,\ldots, uma expressão conveniente é n^2 para n=1,2,3,4,\ldots.
Logo uma boa candidata para o termo geral (indexando por n a partir de 1) é
a_n=\frac{n-1}{n^2},\quad n\ge 1.

Passo 4

Verificação substituindo n=1,2,3,4:
  • Para n=1: a_1=\dfrac{1-1}{1^2}=0 (confere).
  • Para n=2: a_2=\dfrac{2-1}{2^2}=\dfrac{1}{4} (confere).
  • Para n=3: a_3=\dfrac{3-1}{3^2}=\dfrac{2}{9} (confere).
  • Para n=4: a_4=\dfrac{4-1}{4^2}=\dfrac{3}{16} (confere).
Portanto a fórmula proposta está correta.

Passo 5

Às vezes preferimos indexar sequências começando em 0. Se chamarmos o índice de k com k\ge 0, então o mesmo termo pode ser escrito trocando n=k+1. Substituindo em \dfrac{n-1}{n^2} obtemos
a_k=\frac{k}{(k+1)^2},\quad k\ge 0,
que produz a_0=0,\;a_1=\frac{1}{4},\;a_2=\frac{2}{9},\ldots

Passo 6

Também é útil escrever a expressão de forma que mostre uma decomposição simples. Podemos manipular algebraicamente:
\frac{n-1}{n^2}=\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}.
Essa forma \;a_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\; às vezes facilita somas ou limites envolvendo a sequência.

Passo 7

Exemplo prático: para encontrar o próximo termo (após \frac{3}{16}) usamos n=5:
a_5=\frac{5-1}{5^2}=\frac{4}{25}.

Passo 8

Resumo didático rápido: identifiquei o padrão nos numeradores (contagem natural deslocada) e nos denominadores (quadrados), escolhi um índice conveniente (começando em 1), montei a fórmula \dfrac{n-1}{n^2}, verifiquei nos primeiros termos e mostrei formas equivalentes úteis.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{n-1}{n^2},\;n\ge 1
\displaystyle a_k=\frac{k}{(k+1)^2},\;k\ge 0
\displaystyle a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2},\;n\ge 1

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