Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma expressão (uma fórmula explícita) para a sequência cujos termos são
.
Informações dadas: os termos listados, em ordem, são .
Informações dadas: os termos listados, em ordem, são
Passo 2
Vamos olhar separadamente para numeradores e denominadores para perceber um padrão.
Os numeradores são .
Os denominadores são , que são os quadrados perfeitos.
Os numeradores são
Os denominadores são
Passo 3
A partir dos padrões:
- Como os numeradores seguem
, uma expressão conveniente para o numerador é se começarmos a indexar por (porque para temos ). - Como os denominadores são
, uma expressão conveniente é para .
Logo uma boa candidata para o termo geral (indexando por
a partir de
) é
Passo 4
Verificação substituindo
:
- Para
: (confere). - Para
: (confere). - Para
: (confere). - Para
: (confere).
Portanto a fórmula proposta está correta.
Passo 5
Às vezes preferimos indexar sequências começando em
. Se chamarmos o índice de
com
, então o mesmo termo pode ser escrito trocando
. Substituindo em
obtemos
que produz
Passo 6
Também é útil escrever a expressão de forma que mostre uma decomposição simples. Podemos manipular algebraicamente:
Essa forma
às vezes facilita somas ou limites envolvendo a sequência.
Passo 7
Exemplo prático: para encontrar o próximo termo (após
) usamos
:
Passo 8
Resumo didático rápido: identifiquei o padrão nos numeradores (contagem natural deslocada) e nos denominadores (quadrados), escolhi um índice conveniente (começando em
), montei a fórmula
, verifiquei nos primeiros termos e mostrei formas equivalentes úteis.