Determine o domínio das funções abaixo:
q(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função \,q(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x}\,.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • A função está definida por uma expressão racional, ou seja, uma fração cujo numerador é \,x+1\, e cujo denominador é \,x^{2}+x\,.\n
  • Para que a função esteja bem definida em um ponto x, a expressão precisa existir (em particular, o denominador não pode ser zero).\n
    A partir disso, precisamos descobrir para quais valores de x a fração é válida (ou seja, o conjunto de todos os x reais para os quais o denominador não anula a fração).

Passo 2

Vamos manipular a expressão para identificar claramente quando o denominador é zero. Primeiro fatoramos o denominador \,x^{2}+x\,.\n
Regra usada (aula rápida): quando dois termos têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Aqui ambos os termos têm o fator x, então\n
x^{2}+x = x(x+1).
Isso significa que a função pode ser escrita como
q(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade do produto nulo (zero): um produto é zero exatamente quando pelo menos um dos fatores é zero. Queremos saber para quais x o denominador x(x+1) é zero.\n
Resolver x(x+1)=0 é o mesmo que resolver o sistema “x = 0 ou x+1 = 0”. Portanto,
x=0 \quad\text{ou}\quad x=-1.
Esses são os valores de x que anulam o denominador da expressão original.

Passo 4

Interpretação do passo anterior: a divisão por zero é indefinida, logo os valores \,x=0\, e \,x=-1\, não podem pertencer ao domínio de q.\n
Observação importante sobre simplificação (aula prática): embora possamos simplificar a expressão cancelando \,x+1\, (desde que \,x\neq -1\,) e obter a forma simplificada
q(x)=\frac{1}{x}\quad\text{(após cancelar \(x+1\), válido apenas quando \(x\neq -1\))},óá
essa simplificação NÃO “reinsere” os pontos onde o denominador original era zero. Ou seja, mesmo que a forma simplificada pareça definida em \,x=-1\,, a função original \,\frac{x+1}{x(x+1)}\, continua indefinida em \,x=-1\, e em \,x=0\,. Exemplo simples para fixar: a função \,f(x)=\frac{x}{x}\, simplifica para 1, mas f não está definida em \,x=0\, porque a expressão original tinha denominador zero em 0.

Passo 5

Concluímos que o domínio é o conjunto de todos os números reais, exceto os pontos onde o denominador anula: \,x\neq 0\, e \,x\neq -1\,.\n
Escrevendo em notação de conjunto:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0,\;x\neq -1\,\}.
Escrevendo em notação de intervalos:
(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,\infty).

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,\infty)

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