Determine o domínio das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- A função está definida por uma expressão racional, ou seja, uma fração cujo numerador é
e cujo denominador é .\n - Para que a função esteja bem definida em um ponto
, a expressão precisa existir (em particular, o denominador não pode ser zero).\n
A partir disso, precisamos descobrir para quais valores dea fração é válida (ou seja, o conjunto de todos os reais para os quais o denominador não anula a fração).
Passo 2
Vamos manipular a expressão para identificar claramente quando o denominador é zero. Primeiro fatoramos o denominador
.\n
Regra usada (aula rápida): quando dois termos têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Aqui ambos os termos têm o fator , então\n
Regra usada (aula rápida): quando dois termos têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Aqui ambos os termos têm o fator
Isso significa que a função pode ser escrita como
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade do produto nulo (zero): um produto é zero exatamente quando pelo menos um dos fatores é zero. Queremos saber para quais
o denominador
é zero.\n
Resolver é o mesmo que resolver o sistema “x = 0 ou x+1 = 0”. Portanto,
Resolver
Esses são os valores de
que anulam o denominador da expressão original.
Passo 4
Interpretação do passo anterior: a divisão por zero é indefinida, logo os valores
e
não podem pertencer ao domínio de
.\n
Observação importante sobre simplificação (aula prática): embora possamos simplificar a expressão cancelando (desde que
) e obter a forma simplificada
Observação importante sobre simplificação (aula prática): embora possamos simplificar a expressão cancelando
essa simplificação NÃO “reinsere” os pontos onde o denominador original era zero. Ou seja, mesmo que a forma simplificada pareça definida em
, a função original
continua indefinida em
e em
. Exemplo simples para fixar: a função
simplifica para
, mas
não está definida em
porque a expressão original tinha denominador zero em
.
Passo 5
Concluímos que o domínio é o conjunto de todos os números reais, exceto os pontos onde o denominador anula:
e
.\n
Escrevendo em notação de conjunto:
Escrevendo em notação de conjunto:
Escrevendo em notação de intervalos: