Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termos
e pede que a gente determine uma expressão que gere esses termos (ou seja, uma fórmula para o
-ésimo termo).
Informações relevantes dadas: os primeiros quatro termos são ,
,
e
.
Pergunta explícita: encontrar uma expressão para o termo geral da sequência (o termo de índice ).
Informações relevantes dadas: os primeiros quatro termos são
Pergunta explícita: encontrar uma expressão para o termo geral da sequência (o termo de índice
Passo 2
Vamos observar o padrão separando numerador e denominador:
os numeradores são e os denominadores são
.
Note que os numeradores formam uma progressão aritmética com primeiro termo e diferença
.
Os denominadores formam outra progressão aritmética com primeiro termo e diferença
.
os numeradores são
Note que os numeradores formam uma progressão aritmética com primeiro termo
Os denominadores formam outra progressão aritmética com primeiro termo
Passo 3
Rápida lembrança útil (fórmula de progressão aritmética):
para uma progressão aritmética cujo primeiro termo é e a razão (diferença) é
, o
-ésimo termo é dado por
para uma progressão aritmética cujo primeiro termo é
Aqui
é o termo que queremos,
é o primeiro termo e
é a diferença entre termos consecutivos. Esta fórmula vem da ideia de somar
repetidas vezes a partir do primeiro termo.
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao numerador: primeiro termo
e diferença
, logo o numerador do
-ésimo termo vale
Mostrei cada passo da álgebra: multipliquei
por
e somei com
.
Passo 5
Aplicando a mesma ideia ao denominador: primeiro termo
e diferença
, então
Passo 6
Agora juntamos numerador e denominador para obter o termo geral. Assim o
-ésimo termo
, é
Uma forma equivalente e às vezes mais prática é manipular essa fração:
Para conferir, teste com
:
que batem com os termos dados — beleza!
Passo 7
Dica rápida para prova: ao ver sequências com numerador e denominador mudando de maneira regular, separe-os e verifique se cada uma é uma progressão aritmética (ou geométrica). Use a fórmula
para cada parte. Outra dica: escrever a fração como
pode facilitar cálculos de limites ou comparações na prova. Força aí — você consegue!