Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
\left\{\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \cdots\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termos
\left\{\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \cdots\right\} e pede que a gente determine uma expressão que gere esses termos (ou seja, uma fórmula para o n-ésimo termo).
Informações relevantes dadas: os primeiros quatro termos são \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6} e \frac{7}{8}.
Pergunta explícita: encontrar uma expressão para o termo geral da sequência (o termo de índice n).

Passo 2

Vamos observar o padrão separando numerador e denominador:
os numeradores são 1,3,5,7,\ldots e os denominadores são 2,4,6,8,\ldots.
Note que os numeradores formam uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e diferença 2.
Os denominadores formam outra progressão aritmética com primeiro termo 2 e diferença 2.

Passo 3

Rápida lembrança útil (fórmula de progressão aritmética):
para uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a_1 e a razão (diferença) é d, o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Aqui a_n é o termo que queremos, a_1 é o primeiro termo e d é a diferença entre termos consecutivos. Esta fórmula vem da ideia de somar d repetidas vezes a partir do primeiro termo.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao numerador: primeiro termo =1 e diferença =2, logo o numerador do n-ésimo termo vale
\text{numerador} = 1 + (n-1)\cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n-1.
Mostrei cada passo da álgebra: multipliquei (n-1) por 2 e somei com 1.

Passo 5

Aplicando a mesma ideia ao denominador: primeiro termo =2 e diferença =2, então
\text{denominador} = 2 + (n-1)\cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n.

Passo 6

Agora juntamos numerador e denominador para obter o termo geral. Assim o n-ésimo termo \,a_n, é
a_n = \frac{2n-1}{2n}.
Uma forma equivalente e às vezes mais prática é manipular essa fração:
\frac{2n-1}{2n} = \frac{2n}{2n} - \frac{1}{2n} = 1 - \frac{1}{2n}.
Para conferir, teste com n=1,2,3,4:
n=1:\; \frac{2\cdot1-1}{2\cdot1}=\frac{1}{2}; \quad n=2:\; \frac{3}{4};\quad n=3:\; \frac{5}{6};\quad n=4:\; \frac{7}{8},
que batem com os termos dados — beleza!

Passo 7

Dica rápida para prova: ao ver sequências com numerador e denominador mudando de maneira regular, separe-os e verifique se cada uma é uma progressão aritmética (ou geométrica). Use a fórmula a_n=a_1+(n-1)d para cada parte. Outra dica: escrever a fração como 1-\frac{1}{2n} pode facilitar cálculos de limites ou comparações na prova. Força aí — você consegue!

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{2n}
\displaystyle a_n=1-\frac{1}{2n}

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