Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termos
e pede uma expressão que represente os termos gerais dessa sequência.
Dados relevantes: os quatro primeiros termos são ,
,
e
. A tarefa é encontrar
, o termo geral (o
-ésimo termo) da sequência.
Dados relevantes: os quatro primeiros termos são
Passo 2
Vamos procurar um padrão entre os termos. Uma maneira comum e poderosa é verificar a razão entre termos consecutivos: se a razão for constante, a sequência é geométrica e tem fórmula simples. Calculemos a razão dividindo cada termo pelo anterior.
Passo 3
Primeiro dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Depois dividimos o terceiro pelo segundo:
E o quarto pelo terceiro:
Como a razão entre termos consecutivos é sempre
, concluímos que a sequência é geométrica com razão
.
Passo 4
Recordando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica: se
é o primeiro termo e
é a razão, então o
-ésimo termo é dado por
Aqui
representa o primeiro termo da sequência (ou seja, o termo quando
) e
é a razão comum entre termos consecutivos. Essa fórmula vem da multiplicação sucessiva:
,
, etc.
Passo 5
No nosso caso
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Podemos escrever essa expressão de outra forma equivalente, manipulando potências:
Ambas as formas representam exatamente o mesmo termo geral; escolha a que te for mais conveniente na prova.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): usando
,
que conferem com os termos dados. Tudo certo!