Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
\left\{\frac{1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{4}{27}, \frac{-8}{81}, \cdots\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termos
\left\{\frac{1}{3},\;\frac{-2}{9},\;\frac{4}{27},\;\frac{-8}{81},\;\cdots\right\}
e pede uma expressão que represente os termos gerais dessa sequência.
Dados relevantes: os quatro primeiros termos são \frac{1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{4}{27} e \frac{-8}{81}. A tarefa é encontrar a_n, o termo geral (o n-ésimo termo) da sequência.

Passo 2

Vamos procurar um padrão entre os termos. Uma maneira comum e poderosa é verificar a razão entre termos consecutivos: se a razão for constante, a sequência é geométrica e tem fórmula simples. Calculemos a razão dividindo cada termo pelo anterior.

Passo 3

Primeiro dividimos o segundo termo pelo primeiro:
\frac{\frac{-2}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{-2}{9}\cdot\frac{3}{1}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}.
Depois dividimos o terceiro pelo segundo:
\frac{\frac{4}{27}}{\frac{-2}{9}}=\frac{4}{27}\cdot\frac{-9}{2}=\frac{-36}{54}=\frac{-2}{3}.
E o quarto pelo terceiro:
\frac{\frac{-8}{81}}{\frac{4}{27}}=\frac{-8}{81}\cdot\frac{27}{4}=\frac{-216}{324}=\frac{-2}{3}.
Como a razão entre termos consecutivos é sempre \displaystyle -\tfrac{2}{3}, concluímos que a sequência é geométrica com razão r=\displaystyle -\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Recordando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica: se a_1 é o primeiro termo e r é a razão, então o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui a_1 representa o primeiro termo da sequência (ou seja, o termo quando n=1) e r é a razão comum entre termos consecutivos. Essa fórmula vem da multiplicação sucessiva: a_2=a_1 r, a_3=a_1 r^2, etc.

Passo 5

No nosso caso a_1=\displaystyle \frac{1}{3} e r=\displaystyle -\frac{2}{3}. Substituindo na fórmula:
a_n=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}.

Passo 6

Podemos escrever essa expressão de outra forma equivalente, manipulando potências:
a_n=\frac{1}{3}\cdot\frac{(-2)^{\,n-1}}{3^{\,n-1}}=\frac{(-2)^{\,n-1}}{3^{\,n}}.
Ambas as formas representam exatamente o mesmo termo geral; escolha a que te for mais conveniente na prova.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): usando a_n=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1},
a_1=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{0}=\frac{1}{3},
a_2=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{-2}{9},
a_3=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{27},
a_4=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{-8}{81},
que conferem com os termos dados. Tudo certo!

Resposta

a_n=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}
a_n=\frac{(-2)^{\,n-1}}{3^{\,n}}

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