Dados
, com
. Tome
tais que
,
Prove que
Passo 1
O enunciado: temos dois números positivos
e
tais que
, e também dado
com
,
e
. Precisamos mostrar que
. O conteúdo aqui é manipulação de desigualdades e expansão de quadrados, além de usar estimativas
quando
e
.
Passo 2
Começamos por
. Expanda o quadrado:
Passo 3
Como
, temos
. Logo
Passo 4
Pela hipótese
, multiplique ambos os lados por
:
Passo 5
Assim
o que prova
Passo 6
Agora provamos
. Expanda:
Passo 7
Como
,
Passo 8
E pela hipótese
segue
Passo 9
Logo
concluindo
Resposta
As desigualdades obtidas mostram exatamente que
.