Dados a, b in R^+, com a^2<2. Tome x, y in R^+tais que x<1,
x<2-a^22 a+1 e y
Prove que (a+x)^2<2<(b-y)^2

Passo 1

O enunciado: temos dois números positivos a e b tais que a^2<2, e também dado x,y>0 com x<1, x<2-a^22a+1 e y. Precisamos mostrar que (a+x)^2<2< (b-y)^2. O conteúdo aqui é manipulação de desigualdades e expansão de quadrados, além de usar estimativas x^2 quando 0 e y^2>0.

Passo 2

Começamos por (a+x)^2<2. Expanda o quadrado:
(a+x)^2=a^2+2ax+x^2

Passo 3

Como 0, temos x^2. Logo
2ax+x^2<2ax+x = x(2a+1)

Passo 4

Pela hipótese x<2-a^22a+1, multiplique ambos os lados por 2a+1>0:
x(2a+1)<2-a^2

Passo 5

Assim
a^2+2ax+x^2 < a^2 + (2-a^2)=2,
o que prova (a+x)^2<2.

Passo 6

Agora provamos (b-y)^2>2. Expanda:
(b-y)^2=b^2-2by+y^2

Passo 7

Como y^2>0,
b^2-2by+y^2 > b^2-2by

Passo 8

E pela hipótese y segue
2b y < b^2-2Longrightarrow b^2-2by >2

Passo 9

Logo
(b-y)^2 > b^2-2by >2,
concluindo (b-y)^2>2.

Resposta

As desigualdades obtidas mostram exatamente que (a+x)^2<2< (b-y)^2.

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