Dados
, com
. Seja
.
prove que
e
prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando as definições de ínfimo (inf) e supremo (sup), que para o conjunto X = (a,b] temos a = inf X e b = sup X. O conteúdo principal é ordem em ℝ e as definições de limites inferior e superior de um conjunto.
Passo 2
Para provar que a = inf X, usamos a definição de ínfimo como maior limite inferior. Primeiro mostramos que a é um limite inferior de X: para todo x ∈ X temos a < x, logo a ≤ x, então a é limite inferior. Em seguida, tomamos um c qualquer maior que a e mostramos que c não é limite inferior. Se c ≤ b então existe algum x em (a,c) (pela densidade de ℝ) e esse x ∈ X e x < c. Se c > b então basta tomar x = b ∈ X, e como b < c temos x < c. Em ambos os casos c falha como limite inferior, logo a é o maior deles e a = inf X.
Passo 3
Para provar que b = sup X, usamos a definição de supremo como menor limite superior. Primeiro mostramos que b é um limite superior de X: para todo x ∈ X temos x ≤ b, então b é limite superior. Depois, para qualquer c < b mostramos que c não é limite superior. Se c ≥ a então existe algum x em (c,b] (pela densidade de ℝ) e esse x ∈ X e x > c. Se c < a então basta tomar por exemplo x = a + (b–a)/2 ∈ X, e esse x > c. Assim, nenhum c < b é limite superior, logo b é o menor deles e b = sup X.
Resposta
a = inf X e b = sup X