Dados
, com
. Tome
tais que
,
Em seguida, considere o conjunto limitado
e conclua que o número real
cumpre
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, se definirmos o conjunto limitado X = { a ∈ ℝ⁺ ; a² < 2 }, então c = sup X satisfaz c² = 2. O conteúdo envolve o uso da propriedade de supremum e argumentos por contradição usando os pequenos incrementos x e y dados por x < (2–a²)/(2a+1) e y < (b²–2)/(2b). Vamos usar esses limites para mostrar que nem c²<2 nem c²>2 podem ocorrer.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que c² < 2. Como c > 0, podemos aplicar o enunciado com a = c e escolher x > 0 tal que
Então
Isto mostra que c + x ∈ X, mas c + x > c, contradizendo o fato de c ser o supremo (não pode haver elemento de X maior que c). Logo c² < 2 é impossível.
Passo 3
Agora suponha, por absurdo, que c² > 2. Podemos usar o mesmo tipo de argumento com b = c e escolher y > 0 tal que
Então
Isso significa que para todo a ∈ X temos (c - y) < a, pois se algum a satisfizesse a ≥ c - y, então a² ≥ (c - y)² > 2, o que contradiz a definição de X. Assim c - y é uma cota superior de X menor que c, novamente contradizendo a minimalidade de c como supremo.
Passo 4
Como nem c² < 2 nem c² > 2 se sustentam, somos forçados a concluir que c² = 2.
Resposta
c^2 = 2