Dados a, b in R^+, com a^2<2. Tome x, y in R^+tais que x<1,
x<2-a^22 a+1 e y
Em seguida, considere o conjunto limitado X=a in R^+ ; a^2<2 e conclua que o número real c=sup X cumpre c^2=2.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, se definirmos o conjunto limitado X = { a ∈ ℝ⁺ ; a² < 2 }, então c = sup X satisfaz c² = 2. O conteúdo envolve o uso da propriedade de supremum e argumentos por contradição usando os pequenos incrementos x e y dados por x < (2–a²)/(2a+1) e y < (b²–2)/(2b). Vamos usar esses limites para mostrar que nem c²<2 nem c²>2 podem ocorrer.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que c² < 2. Como c > 0, podemos aplicar o enunciado com a = c e escolher x > 0 tal que
x < 2 - c^22c + 1
Então
(c + x)^2 = c^2 + 2cx + x^2 < c^2 + 2cx + x = c^2 + x(2c + 1) < c^2 + (2 - c^2) = 2
Isto mostra que c + x ∈ X, mas c + x > c, contradizendo o fato de c ser o supremo (não pode haver elemento de X maior que c). Logo c² < 2 é impossível.

Passo 3

Agora suponha, por absurdo, que c² > 2. Podemos usar o mesmo tipo de argumento com b = c e escolher y > 0 tal que
y < c^2 - 22c
Então
(c - y)^2 = c^2 - 2cy + y^2 > c^2 - 2cy = c^2 - y(2c) > c^2 - (c^2 - 2) = 2
Isso significa que para todo a ∈ X temos (c - y) < a, pois se algum a satisfizesse a ≥ c - y, então a² ≥ (c - y)² > 2, o que contradiz a definição de X. Assim c - y é uma cota superior de X menor que c, novamente contradizendo a minimalidade de c como supremo.

Passo 4

Como nem c² < 2 nem c² > 2 se sustentam, somos forçados a concluir que c² = 2.

Resposta

c^2 = 2

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