(2,0 p) Determinar o sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y=x^3 e as retas x=-2, x=2 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o sólido que forma quando giramos a região limitada pela curva $ y = x^3 $, pelas retas $ x = -2 $, $ x = 2 $ e $ y = 0 $ em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas e limites. A curva $ y = x^3 $ é uma função cúbica que passa pela origem e é simétrica em relação ao ponto (0,0). As retas $ x = -2 $ e $ x = 2 $ são linhas verticais que vão limitar nossa região de estudo no eixo $ x $. A reta $ y = 0 $ é simplesmente o eixo $ x $.

Passo 3

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação ao redor do eixo $ x $, usamos a fórmula do método dos discos:
x
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a fronteira superior da região a ser girada, que no nosso caso é $ y = x^3 $. Os limites de integração $ a $ e $ b $ são $ -2 $ e $ 2 $, respectivamente.

Passo 4

Então, substituindo na fórmula, temos:
V = pi integral-2^2 (x^3)^2 , dx = pi integral-2^2 x^6 , dx

Passo 5

Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral x^6 , dx = x^77 + C
Aplicando os limites de $ -2 $ a $ 2 $:
-2

Passo 6

Simplificando, o volume fica:
V = 2567 pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{256}{7} \pi $ unidades cúbicas.

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