Determinar o sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pela curva
e as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o sólido que forma quando giramos a região limitada pela curva $ y = x^3 $, pelas retas $ x = -2 $, $ x = 2 $ e $ y = 0 $ em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas e limites. A curva $ y = x^3 $ é uma função cúbica que passa pela origem e é simétrica em relação ao ponto (0,0). As retas $ x = -2 $ e $ x = 2 $ são linhas verticais que vão limitar nossa região de estudo no eixo $ x $. A reta $ y = 0 $ é simplesmente o eixo $ x $.
Passo 3
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação ao redor do eixo $ x $, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a fronteira superior da região a ser girada, que no nosso caso é $ y = x^3 $. Os limites de integração $ a $ e $ b $ são $ -2 $ e $ 2 $, respectivamente.
Passo 4
Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
Aplicando os limites de $ -2 $ a $ 2 $:
Passo 6
Simplificando, o volume fica:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{256}{7} \pi $ unidades cúbicas.