Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o valor mínimo da função:
f(x, y)=8 x+12 y
sabendo que os valores de x e y precisam obedecer à condição:
x^2+y^2=13

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor mínimo da função $ f(x, y) = 8x + 12y $ usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A condição que os valores de $ x $ e $ y $ precisam seguir é $ x^{2} + y^{2} = 13 $. Então, vamos usar o que aprendemos sobre Lagrange para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função que queremos minimizar ($ f(x, y) f(x, y) éçã g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 13 = 0 $). Isso nos dá um sistema de equações para resolver.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das funções. O gradiente de $ f(x, y) $ é:
f(x, y)
E o gradiente de $ g(x, y) $ é:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (8, 12)
Segundo o método de Lagrange, temos que:
g(x, y)
Ou seja:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y ) = (2x, 2y)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
8 = 2lambda x Rightarrow lambda = 82x = 4x
Da segunda equação:
12 = 2lambda y Rightarrow lambda = 122y = 6y
Igualando as duas expressões para $ \lambda $:
lambda
Agora, substituímos $ y = \frac{3}{2}x $ na condição de restrição $ x^{2} + y^{2} = 13 $:
4x = 6y Rightarrow 4y = 6x Rightarrow y = 32x
Então, temos dois casos:
  • Se $ x = 2 $, então $ y = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 $
  • Se $ x = -2 $, então $ y = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3 $

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de $ f(x, y) $ para cada caso:
  • Para $ (2, 3) $:
f(x, y)
  • Para $ (-2, -3) $:
(2, 3)
Estamos procurando o valor mínimo, então f(2, 3) = 8 cdot 2 + 12 cdot 3 = 16 + 36 = 52 é o menor valor.

Resposta

O valor mínimo da função $ f(x, y) = 8x + 12y $ sujeito à condição $ x^{2} + y^{2} = 13 $ é f(x, y) = 8x + 12y .

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