Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o valor mínimo da função:
sabendo que os valores de
e
precisam obedecer à condição:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor mínimo da função $ f(x, y) = 8x + 12y $ usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A condição que os valores de $ x $ e $ y $ precisam seguir é $ x^{2} + y^{2} = 13 $. Então, vamos usar o que aprendemos sobre Lagrange para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função que queremos minimizar ($ f(x, y)
g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 13 = 0 $). Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções. O gradiente de $ f(x, y) $ é:
E o gradiente de $ g(x, y) $ é:
Segundo o método de Lagrange, temos que:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para $ \lambda $:
Agora, substituímos $ y = \frac{3}{2}x $ na condição de restrição $ x^{2} + y^{2} = 13 $:
Então, temos dois casos:
- Se $ x = 2 $, então $ y = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 $
- Se $ x = -2 $, então $ y = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3 $
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de $ f(x, y) $ para cada caso:
- Para $ (2, 3) $:
- Para $ (-2, -3) $:
Estamos procurando o valor mínimo, então
é o menor valor.
Resposta
O valor mínimo da função $ f(x, y) = 8x + 12y $ sujeito à condição $ x^{2} + y^{2} = 13 $ é
.