Determinar as coordenadas da matriz (cc1 & -1 2 & 0) de M2 times 2(R) em relação à base
(ll 1 & 0 0 & 1 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 2 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 2 )

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar as coordenadas de uma matriz específica em relação a uma base dada. Para isso, vamos usar conceitos de bases e combinação linear de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que queremos expressar e a base fornecida. A matriz dada é:
A = 1 & -1 2 & 0
E a base é composta pelas seguintes matrizes:
B1 = 1 & 0 0 & 1 , B2 = 0 & 1 0 & 0 , B3 = 0 & 0 2 & 0 , B4 = 0 & 0 1 & 2

Passo 3

Queremos encontrar escalares A = aB1 + bB2 + cB3 + dB4 , 1 & -1 2 & 0 = a 1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 0 & 0 + c 0 & 0 2 & 0 + d 0 & 0 1 & 2 , e tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos somar as matrizes multiplicadas pelos escalares:
a 1 & 0 0 & 1 = a & 0 0 & a
b 0 & 1 0 & 0 = 0 & b 0 & 0
c 0 & 0 2 & 0 = 0 & 0 2c & 0
d 0 & 0 1 & 2 = 0 & 0 d & 2d
Somando todas elas:
aB1 + bB2 + cB3 + dB4 = a & b 2c + d & a + 2d

Passo 5

Agora, igualamos essa soma à matriz a & b 2c + d & a + 2d = 1 & -1 2 & 0 :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Já sabemos que 1 + 2d = 0 implies 2d = -1 implies d = -12 e 2c + (-12) = 2 implies 2c = 2 + 12 = 52 implies c = 54 . Vamos resolver as equações 3 e 4 para encontrar e :
Da equação 4:
Substituindo na equação 3:

Resposta

As coordenadas da matriz 1 & -1 2 & 0 em relação à base dada são:
1 -1 54 -12

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