(1,0) Dados u=(u1, u2, u3, u4) e v=(v1, v2, v3, v4) vetores de R^4. Dizemos que u é ortogonal a v, e escrevemos u perp v, se e somente se sumi=1^4 ui vi=0. Dado S subset R^4 um subconjunto, seja S^perp:=u in R^4 ; u perp s, forall s in S.
(a) Mostre que S^perp é um subespaço vetorial de R^4.
Sejam u=(0,1,-1,3), v=(1,0,2,0), w=(2,1,1,1) e t=(2,-3,7,-9) vetores de R^4.
(b) Exiba uma base de U=<u, v, w, t>. Qual é sua dimensão?
(c) Calcule U^perp.
(d) Mostre que R^4=U oplus U^perp.

Passo 1

Resumindo: temos um conjunto SsubsetR^4 e definimos
S^perp=,uinR^4 : uperp s forall sin S,
onde uperp s significa sumi=1^4ui si=0. Para mostrar que S^perp é subespaço vetorial, basta verificar que
  1. 0in S^perp (zero dá soma zero com qualquer s),
  2. se u,vin S^perp então (u+v)perp s para todo s,
  3. se uin S^perp e lambdainR então (lambda u)perp s.

Passo 2

Agora, com
u=(0,1,-1,3), v=(1,0,2,0), w=(2,1,1,1), t=(2,-3,7,-9),
queremos achar uma base de U=lang<= u,v,w,trang<=. Montando a matriz cujas linhas são u,v,w,t e fazendo eliminação de Gauss, descobrimos que o posto é 3. Além disso vemos que t=-3u+2v, então u,v,w é um conjunto independente que gera U. Logo
dim U = 3,base de U=u,v,w

Passo 3

Para U^perp basta resolver
xcdot u=0, xcdot v=0, xcdot w=0
com x=(x1,x2,x3,x4). O sistema dá
x2 - x3 +3x4 =0, x1 +2x3 =0, 2x1 +x2 +x3 +x4 =0,
cuja solução geral é
(x1,x2,x3,x4)=alpha,(-2,4,1,-1),alphainR
Portanto
U^perp=span(-2,4,1,-1), dim U^perp=1

Passo 4

Finalmente, como
dim U + dim U^perp = 3+1 = 4 = dimR^4
e Ucap U^perp=0 (se xin Ucap U^perp então xcdot x=0Rightarrow x=0), segue
R^4 = U oplus U^perp

Resposta

(a) S^perp é subespaço vetorial de R^4.
(b) Base de U: u,v,w, dim U=3.
(c) U^perp=span(-2,4,1,-1).
(d) Como dim U+dim U^perp=4 e Ucap U^perp=0, tem-se R^4=Uoplus U^perp.

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