(1,0) Dados
e
vetores de
. Dizemos que
é ortogonal a
, e escrevemos
, se e somente se
. Dado
um subconjunto, seja
.
(a) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Sejam
e
vetores de
.
(b) Exiba uma base de
. Qual é sua dimensão?
(c) Calcule
.
(d) Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Exiba uma base de
(c) Calcule
(d) Mostre que
Passo 1
Resumindo: temos um conjunto
e definimos
onde
significa
. Para mostrar que
é subespaço vetorial, basta verificar que
-
(zero dá soma zero com qualquer ), - se
então para todo , - se
e então .
Passo 2
Agora, com
queremos achar uma base de
. Montando a matriz cujas linhas são
e fazendo eliminação de Gauss, descobrimos que o posto é
. Além disso vemos que
, então
é um conjunto independente que gera
. Logo
Passo 3
Para
basta resolver
com
. O sistema dá
cuja solução geral é
Portanto
Passo 4
Finalmente, como
e
(se
então
), segue
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) Base de :
,
.
(c) .
(d) Como e
, tem-se
.
(b) Base de
(c)
(d) Como