Exercício 6. (F. 3.3, ex.6) Seja phinn=1^infty o conjunto das funções dadas por phin(x)=(2l)^12 sen((n-12) pi xl). No exercício 3, vimos que este conjunto é ortonormal. Mostre agora que ele é uma base de L^2(0, l). Para tanto, siga o seguinte argumento:
i) Já vimos em sala de aula que psin(x)=(2pi)^12 sen(n x), n >= 1 é uma base ortonormal de L^2(0, pi). Usando o exercício 5 , conclua que a sequência de funções psinn=1^infty dada por psin(x)=(1l)^12 sen(n pi x2 l), n >= 1 é uma base de L^2(0,2 l).
ii) Seja f in L^2(0, l). Vamos definir tildef:[0,2 l] C por
tildef(x):=c f(x), x in[0, l] f(2 l-x), x in[l, 2 l]
Mostre que lang<=tildef, psi2 n-1rang<==raiz2lang<= f, phinrang<= e lang<=tildef, psi2 nrang<==0.
iii) Conclua que se lang<= f, phinrang<==0 para todo n, então f=0. Logo phinn=1^infty é uma base.

Passo 1

O objetivo é mostrar que o sistema ortonormal
phin(x)=l(tfrac2lr)^12sinl((n-tfrac12)tfracpi xlr), n>=1,
é completo em L^2(0,l). Para isso vamos usar três ingredientes:
1. Sabemos que psin(x)=raiz2/pi,sin(n x)n>=1 é base ortonormal de L^2(0,pi).
2. Pelo enunciado do exercício 5, isso escala a uma base ortonormal
psin(x)=l(tfrac1lr)^12sinl(tfracnpi x2lr)
de L^2(0,2l).
3. Através de uma extensão par-reflexão de fin L^2(0,l) até [0,2l] e cálculo de produtos internos com psin, mostraremos que a ortogonalidade de f a todas phin implica f=0.

Passo 2

Pelo exercício 5, a mudança de variável u=tfracpi2lx transforma
raiz2/pisin(nu) em
psin(x) =l(tfrac1lr)^12sin!l(tfracnpi x2lr),
que é uma base ortonormal de L^2(0,2l).

Passo 3

Dado
Então, para no segundo integral obtém-se
Se (ímpar), então
, de modo que
Se (par), então
, logo

Passo 4

Suponha lang<= f,phinrang<==0 para todo n. Então
lang<=tilde f,psi2n-1rang<==0 e lang<=tilde f,psi2nrang<==0 para todo n, isto é,
lang<=tilde f,psimrang<==0 para todo m. Como psim é base de L^2(0,2l), concluímos tilde f=0 quase--todo em [0,2l]. Em particular f=0 quase--todo em [0,l].

Resposta

O sistema phinn=1^infty é ortonormal e completo em L^2(0,l), ou seja, é uma base de L^2(0,l).

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