Exercício 6. (F. 3.3, ex.6) Seja
o conjunto das funções dadas por
. No exercício 3, vimos que este conjunto é ortonormal. Mostre agora que ele é uma base de
. Para tanto, siga o seguinte argumento:
i) Já vimos em sala de aula que
é uma base ortonormal de
. Usando o exercício 5 , conclua que a sequência de funções
dada por
é uma base de
.
ii) Seja
. Vamos definir
por
Mostre que
e
.
iii) Conclua que se
para todo
, então
. Logo
é uma base.
i) Já vimos em sala de aula que
ii) Seja
iii) Conclua que se
Passo 1
O objetivo é mostrar que o sistema ortonormal
é completo em
. Para isso vamos usar três ingredientes:
. Sabemos que
é base ortonormal de
.
. Pelo enunciado do exercício
, isso escala a uma base ortonormal
de
.
. Através de uma extensão par-reflexão de
até
e cálculo de produtos internos com
, mostraremos que a ortogonalidade de
a todas
implica
.
Passo 2
Pelo exercício
, a mudança de variável
transforma
em
que é uma base ortonormal de
.
Passo 3
Dado
Então, para no segundo integral obtém-se
Se
(ímpar), então
, de modo que
Se
(par), então
, logo
Passo 4
Suponha
para todo
. Então
e
para todo
, isto é,
para todo
. Como
é base de
, concluímos
quase--todo em
. Em particular
quase--todo em
.
Resposta
O sistema
é ortonormal e completo em
, ou seja, é uma base de
.