Dados u, v \in \mathbb{R}^{2}, mostre que w=v-P_{u} v é perpendicular a u. Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado define
w = v - P_{u}v
onde u,v\in\mathbb{R}^2 e
P_{u}v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u
é a projeção ortogonal de v sobre u. Para mostrar que w é perpendicular a u, vamos usar a propriedade bilinear e simétrica do produto interno em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Calculemos o produto interno \langle w,u\rangle:
\langle w,u\rangle = \bigl\langle v - \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u,\;u\bigr\rangle = \langle v,u\rangle \;-\;\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,\langle u,u\rangle = \langle v,u\rangle - \langle v,u\rangle = 0.
Como \langle w,u\rangle=0, concluímos que w é ortogonal a u.

Passo 3

Geometricamente, isso significa que qualquer vetor v em \mathbb{R}^2 se decompõe em uma soma de um componente paralelo a u (que é P_{u}v) e um componente perpendicular a u (que é w). O vetor w é justamente a “parte de v” que fica fora da reta gerada por u, formando ângulo reto com u.

Resposta

\langle w,u\rangle=0, ou seja, w é perpendicular a u. Geometricamente, w é o componente de v ortogonal a u, completando a decomposição de v em projeção paralela e rejeição ortogonal.

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