Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} quaisquer, demonstre as seguintes propriedades do produto escalar:
\|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}-2 u \cdot v+\|v\|^{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de expansão do quadrado da diferença de vetores em \mathbb{R}^2. Vamos usar a definição de norma induzida pelo produto escalar e as propriedades de bilinearidade e simetria do produto escalar.

Passo 2

Pela definição de norma, para qualquer vetor x vale
\|x\|^2 = x\cdot x.
Logo,
\|u - v\|^2 = (u - v)\cdot (u - v).

Passo 3

Usando a bilinearidade do produto escalar, expandimos:
(u - v)\cdot (u - v) = u\cdot u \;-\; u\cdot v \;-\; v\cdot u \;+\; v\cdot v.

Passo 4

Como o produto escalar é comutativo, u\cdot v = v\cdot u. Portanto os termos mistos somam:
-\,u\cdot v \;-\;v\cdot u = -2\,u\cdot v.

Passo 5

Reconhecendo que u\cdot u = \|u\|^2 e v\cdot v = \|v\|^2, concluímos
\|u - v\|^2 = \|u\|^2 \;-\;2\,u\cdot v\;+\;\|v\|^2.

Resposta

\|u - v\|^2 = \|u\|^2 - 2\,u \cdot v + \|v\|^2.

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