Dados
quaisquer, demonstre as seguintes propriedades do produto escalar:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de expansão do quadrado da diferença de vetores em
. Vamos usar a definição de norma induzida pelo produto escalar e as propriedades de bilinearidade e simetria do produto escalar.
Passo 2
Pela definição de norma, para qualquer vetor
vale
Logo,
Passo 3
Usando a bilinearidade do produto escalar, expandimos:
Passo 4
Como o produto escalar é comutativo,
. Portanto os termos mistos somam:
Passo 5
Reconhecendo que
e
, concluímos