Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} quaisquer, demonstre as seguintes propriedades do produto escalar:
|u \cdot v| \leq\|u\|\|v\|

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz em \mathbb{R}^2, ou seja, provar que para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 vale
|u\cdot v|\le \|u\|\|v\|.
Vamos usar as definições de produto escalar e norma, e explorar que o quadrado da norma de um vetor é sempre não‐negativo.

Passo 2

Lembrando as definições em \mathbb{R}^2:
u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2,
\|u\| = \sqrt{u\cdot u} = \sqrt{u_1^2+u_2^2},
e em geral \|w\|^2 = w\cdot w\ge0 para todo w.

Passo 3

Considere a função real de parâmetro t:
f(t) = \|\,u - t\,v\|^2 = (u - tv)\cdot (u - tv).
Como é norma ao quadrado, temos sempre
f(t)\ge0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Expanda f(t):
f(t) = u\cdot u -2t\,(u\cdot v) + t^2\,(v\cdot v) = \|u\|^2 -2t\,(u\cdot v) + t^2\|v\|^2.
Isto é um polinômio quadrático em t. Como f(t)\ge0 para todo t, a sua discriminante deve ser não‐positiva:
\Delta = \bigl(-2(u\cdot v)\bigr)^2 -4\|v\|^2\|u\|^2 \le 0 \;\Longrightarrow\; 4\,(u\cdot v)^2 \le 4\,\|u\|^2\|v\|^2.
Dividindo por 4 obtemos
(u\cdot v)^2 \le \|u\|^2\|v\|^2 \quad\Longrightarrow\quad |u\cdot v|\le \|u\|\,\|v\|.

Resposta

|u\cdot v|\le \|u\|\,\|v\|.

Exercícios relacionados