Dados
quaisquer, demonstre as seguintes propriedades do produto escalar:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz em
, ou seja, provar que para quaisquer vetores
vale
Vamos usar as definições de produto escalar e norma, e explorar que o quadrado da norma de um vetor é sempre não‐negativo.
Passo 2
Lembrando as definições em
:
e em geral
para todo
.
Passo 3
Considere a função real de parâmetro
:
Como é norma ao quadrado, temos sempre
Passo 4
Expanda
:
Isto é um polinômio quadrático em
. Como
para todo
, a sua discriminante deve ser não‐positiva:
Dividindo por
obtemos