Dados
e
, mostre que:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
;
(f)
é perpendicular a
e a
;
(g)
;
(h)
em que
é o ângulo entre
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para provar oito propriedades do produto vetorial em
: autoanulação, anticomutatividade, linearidade em cada argumento, a identidade dupla (bac–cab), perpendicularidade, expressão da norma ao quadrado e sua forma geométrica. Vamos usar a definição componente a componente e propriedades do produto escalar e do determinante.
Passo 2
Para (a), usemos a definição componente a componente: se
, então
$$
u\times u=(u_2u_3-u_3u_2,;u_3u_1-u_1u_3,;u_1u_2-u_2u_1)$$
Mas cada termo é zero, logo .
Mas cada termo é zero, logo
Passo 3
Para (b), calculemos
e
pelas fórmulas de determinante 3×3 e comparemos: as componentes mudam de sinal, de modo que
$$
u\times v=-(v\times u)$$
o que mostra a anticomutatividade.
o que mostra a anticomutatividade.
Passo 4
Para ©, note que o produto vetorial é bilinear em cada argumento. Usando a definição em termos de determinantes, temos
pois podemos extrair escalares linha a linha do determinante.
Passo 5
Para (d), analogamente à parte ©, a linearidade vale também no segundo argumento:
Passo 6
Para (e), a identidade dupla (bac–cab) pode ser obtida usando componentes ou o expoente de Lagrange. Em forma vetorial:
Passo 7
Para (f), mostramos que
é ortogonal a
e a
usando o produto escalar:
Passo 8
Para (g), calculamos
que é a identidade de Lagrange.
Passo 9
Para (h), da parte (g) segue geometricamente que
onde
é o ângulo entre
e
.
Resposta
As propriedades (a)–(h) do produto vetorial em
estão demonstradas conforme solicitado.