Dados u, v, w in R^3 e a, b in R, mostre que:
(a) u times u=(0,0,0);
(b) u times v=-v times u;
© (a u+b v) times w=a(u times w)+b(v times w);
(d) u times(a v+b w)=a(u times v)+b(u times w);
(e) (u times v) times w=(u cdot w) v-(v cdot w) u;
(f) u times v é perpendicular a u e a v;
(g) (u times v) cdot(u times v)=(u cdot u)(v cdot v)-(u cdot v)^2;
(h) |u times v|=|u||v| sin theta em que theta é o ângulo entre u e v.

Passo 1

O enunciado pede para provar oito propriedades do produto vetorial em R^3: auto­anulação, anticomutatividade, linearidade em cada argumento, a identidade dupla (bac–cab), perpendicularidade, expressão da norma ao quadrado e sua forma geométrica. Vamos usar a definição componente a componente e propriedades do produto escalar e do determinante.

Passo 2

Para (a), usemos a definição componente a componente: se u=(u1,u2,u3), então
$$
u\times u=(u_2u_3-u_3u_2,;u_3u_1-u_1u_3,;u_1u_2-u_2u_1)$$
Mas cada termo é zero, logo utimes u=(u2u3-u3u2,;u3u1-u1u3,;u1u2-u2u1).

Passo 3

Para (b), calculemos utimes v e vtimes u pelas fórmulas de determinante 3×3 e comparemos: as componentes mudam de sinal, de modo que
$$
u\times v=-(v\times u)$$
o que mostra a anticomutatividade.

Passo 4

Para ©, note que o produto vetorial é bilinear em cada argumento. Usando a definição em termos de determinantes, temos
(a u+b v)times w= a(utimes w)+b(vtimes w)
pois podemos extrair escalares linha a linha do determinante.

Passo 5

Para (d), analogamente à parte ©, a linearidade vale também no segundo argumento:
utimes(a v+b w)=a(utimes v)+b(utimes w)

Passo 6

Para (e), a identidade dupla (bac–cab) pode ser obtida usando componentes ou o expoente de Lagrange. Em forma vetorial:
(utimes v)times w=(ucdot w),v - (vcdot w),u

Passo 7

Para (f), mostramos que utimes v é ortogonal a u e a v usando o produto escalar:
(utimes v)cdot u=0, (utimes v)cdot v=0

Passo 8

Para (g), calculamos
|utimes v|^2=(utimes v)cdot(utimes v) = (ucdot u)(vcdot v)-(ucdot v)^2,
que é a identidade de Lagrange.

Passo 9

Para (h), da parte (g) segue geometricamente que
|utimes v|=raiz|u|^2|v|^2-(ucdot v)^2=|u|,|v|,sintheta,
onde theta é o ângulo entre u e v.

Resposta

As propriedades (a)–(h) do produto vetorial em R^3 estão demonstradas conforme solicitado.

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