(4 pontos) Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando todas as respostas:
a) ( ) Seja
é uma série de potências, com raio de convergência 3. Assim, 3 pertence ao intervalo de convergência da série.
a) ( ) Seja
Passo 1
O enunciado apresenta uma série de potências
com raio de convergência
e afirma que
pertence ao seu intervalo de convergência.
Passo 2
Pelo teorema do raio de convergência, uma série de potências com raio
converge absolutamente para todos os
tais que
, diverge para todos os
tais que
e o caso
(os pontos de fronteira) deve ser analisado separadamente usando outros testes.
Passo 3
Como o comportamento da série em
(isto é,
) não é garantido pelo valor do raio sozinho, não podemos afirmar que
pertença ao intervalo de convergência sem informações adicionais sobre os coeficientes
. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
F. O raio de convergência garante apenas convergência para
e divergência para
; o ponto
precisa de análise extra e não é assegurado.