(4 pontos) Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando todas as respostas:
a) ( ) Seja sumn=1^+infty an x^n é uma série de potências, com raio de convergência 3. Assim, 3 pertence ao intervalo de convergência da série.

Passo 1

O enunciado apresenta uma série de potências sumn=1^+infty an x^n com raio de convergência R=3 e afirma que x=3 pertence ao seu intervalo de convergência.

Passo 2

Pelo teorema do raio de convergência, uma série de potências com raio R converge absolutamente para todos os x tais que |x|, diverge para todos os x tais que |x|>R e o caso |x|=R (os pontos de fronteira) deve ser analisado separadamente usando outros testes.

Passo 3

Como o comportamento da série em x=3 (isto é, |x|=R) não é garantido pelo valor do raio sozinho, não podemos afirmar que 3 pertença ao intervalo de convergência sem informações adicionais sobre os coeficientes an. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

F. O raio de convergência garante apenas convergência para |x|<3 e divergência para |x|>3; o ponto x=3 precisa de análise extra e não é assegurado.

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