Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ;|x| <= 2 e 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e analisar o conjunto R=(x,y)inR^2;;|x|<=2;e;x^2+y^2>1. O assunto é topologia em R^2: usar definições de interseção de conjuntos, interior, fechamento, fronteira e propriedades como aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.

Passo 2

Reescrevemos R como interseção de dois conjuntos simples: o cilindro vertical (tira) fechado S1=(x,y);;|x|<=2 e a região externa aberta ao círculo de raio 1 S2=(x,y);;x^2+y^2>1. Logo R=S1cap S2.

Passo 3

Para esboçar: primeiro desenhe a faixa vertical entre as retas x=-2 e x=2, incluindo essas retas. Depois marque o círculo de raio 1 (a parte interna excluída). A região que sobra dentro da faixa, mas sempre fora do círculo, é R.

Passo 4

Usando definições de interior e fechamento: o interior de R é a região com margem positiva em ambas desigualdades, ou seja,
int(R)=(x,y);;|x|<2;e;x^2+y^2>1,
e o fechamento é
R=(x,y);;|x|<=2;e;x^2+y^2>=1
A fronteira é partialR=Rsetminusint(R), ou seja, a união de
  • as retas verticais |x|=2 para todo y tal que x^2+y^2>=1,
  • e o círculo x^2+y^2=1 para |x|<=2.

Passo 5

Agora vemos as propriedades:
  • Não é aberto (pontos sobre x=pm2 não têm bola inteiramente contida em R).
  • Não é fechado (falta incluir os pontos do círculo x^2+y^2=1).
  • Não é limitado (estende-se verticalmente sem fim).
  • Não é compacto (não é fechado nem limitado).
  • É conexo (a parte externa ao círculo dentro da faixa forma uma única “tira” contínua que contorna o círculo).

Resposta

Fronteira:
partialR=(x,y);;|x|=2,;x^2+y^2>=1;cup;(x,y);;x^2+y^2=1,;|x|<=2
Classificação: não é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto e é conexo.

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