Esboce o conjunto do plano dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo. e
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e analisar o conjunto. O assunto é topologia em : usar definições de interseção de conjuntos, interior, fechamento, fronteira e propriedades como aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Passo 2
Reescrevemos como interseção de dois conjuntos simples: o cilindro vertical (tira) fechado e a região externa aberta ao círculo de raio 1 . Logo .
Passo 3
Para esboçar: primeiro desenhe a faixa vertical entre as retas e , incluindo essas retas. Depois marque o círculo de raio 1 (a parte interna excluída). A região que sobra dentro da faixa, mas sempre fora do círculo, é .
Passo 4
Usando definições de interior e fechamento: o interior de é a região com margem positiva em ambas desigualdades, ou seja,
e o fechamento é
A fronteira é partialR=Rsetminusint(R), ou seja, a união de
as retas verticais |x|=2 para todo y tal que x^2+y^2>=1,
e o círculo x^2+y^2=1 para |x|<=2.
Passo 5
Agora vemos as propriedades:
Não é aberto (pontos sobre x=pm2 não têm bola inteiramente contida em R).
Não é fechado (falta incluir os pontos do círculo x^2+y^2=1).
Não é limitado (estende-se verticalmente sem fim).
Não é compacto (não é fechado nem limitado).
É conexo (a parte externa ao círculo dentro da faixa forma uma única “tira” contínua que contorna o círculo).