Dados os valores
\mathrm{X}=100100_{2} e \mathrm{Y}=100001_{2}, realize as operações abaixo. Mostre as soluções passo a passo.
\quad X-Y=

Passo 1

Dados fornecidos:
X = 100100_2
Y = 100001_2
O que o enunciado pede:
Calcular X - Y. Ou seja, subtrair o número binário Y de X e apresentar o resultado (preferivelmente em binário).

Passo 2

Breve revisão do que significam números em base 2 (binário). Cada dígito (bit) numa representação binária vale uma potência de 2. Se temos um número com dígitos do bit mais significativo ao menos significativo, por exemplo \;b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0, então seu valor em decimal é
b_5\cdot 2^5 + b_4\cdot 2^4 + b_3\cdot 2^3 + b_2\cdot 2^2 + b_1\cdot 2^1 + b_0\cdot 2^0.
Aqui cada b_i é 0 ou 1.

Passo 3

Converter X para decimal para entender o valor (opção didática — no exame você pode fazer direto em binário, mas converter ajuda a checar):
X = 100100_2 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0.
Calculemos cada potência:
2^5 = 32,\quad 2^2 = 4,\quad 2^4=16,\;2^3=8,\;2^1=2,\;2^0=1.
Substituindo:
X = 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 36_{10}.

Passo 4

Converter Y para decimal:
Y = 100001_2 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0.
Substituindo as potências:
Y = 32 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 33_{10}.

Passo 5

Subtração em decimal (verificação rápida do valor final):
X - Y = 36_{10} - 33_{10} = 3_{10}.
Agora precisamos expressar esse resultado em binário, porque as entradas eram em binário.

Passo 6

Converter 3_{10} para binário. Método simples: decompor em potências de 2.
3 = 2 + 1 = 2^1 + 2^0.
Logo os bits correspondentes são 1 em 2^1 e 1 em 2^0, ou seja:
3_{10} = 11_2.

Passo 7

Agora ensino a subtração direta em binário (o método que provavelmente usarás na prova), mostrando que dá o mesmo resultado. Alinhemos os dois números com 6 bits:
\begin{array}{r} \;X = 1\;0\;0\;1\;0\;0_2\\\\ -Y = 1\;0\;0\;0\;0\;1_2\\\ \hline \end{array}
Vamos subtrair coluna a coluna da direita para a esquerda (como em decimal). Relembre a regra: em cada coluna, 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0-1 não é possível sem emprestar — então emprestamos 1 da coluna à esquerda (um empréstimo de valor 2 na base 2).
Colunas (do bit 2^0 até 2^5):
  • Coluna 2^0 (direita): temos 0 - 1. Não dá; emprestamos 1 (que vale 2 nesta coluna) da coluna 2^1. Mas a coluna 2^1 em X é 0, então precisamos propagar o empréstimo até encontrar um 1.
  • Coluna 2^1: é 0. Para emprestar daqui para 2^0 precisamos primeiro tomar emprestado da coluna 2^2.
  • Coluna 2^2: é 1 em X. Então essa coluna pode emprestar 1. Quando uma coluna com bit 1 empresta, ela vira 0 e a coluna imediatamente à direita recebe 2 (mas em termos de bits, isso é como transformar a sequência).
    Procedimento detalhado:
    • Coluna 2^2 (valor original 1) empresta 1 para 2^1, então 2^2 fica com 0 e 2^1 passa a ter 2 (que em bits é representado como um ‘10’ binário, mas ao tratar coluna a coluna: agora 2^1 efetivamente tem valor 2, ou seja, é como se tivesse bit 1 e uma unidade a mais para emprestar).
    • Agora da coluna 2^1 (que recebeu o empréstimo) emprestamos 1 para 2^0. Depois desse empréstimo, 2^1 passa de 2 para 1 (em termos de valor), e 2^0 recebe 2.
      Agora temos na prática:
    • Coluna 2^0: 0 + 2 - 1 = 1.
    • Coluna 2^1: passou a ser 1 (após o empréstimo) e devemos subtrair 0 (pois Y tem 0 nessa coluna): 1 - 0 = 1.
    • Coluna 2^2: virou 0 após emprestar e Y tem 0 aqui: 0 - 0 = 0.
    • Coluna 2^3: 0 - 0 = 0.
    • Coluna 2^4: 0 - 0 = 0.
    • Coluna 2^5: 1 - 1 = 0.
Escrevendo o resultado das colunas do mais significativo ao menos significativo:
0\;0\;0\;0\;1\;1_2
Que, removendo zeros à esquerda, é
11_2.

Passo 8

Conclusão: tanto convertendo para decimal e voltando para binário quanto fazendo a subtração diretamente em binário (com empréstimos) obtemos o mesmo resultado.

Resposta

X-Y=11_2
=3_{10}

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