2{ }^{\text {a }} Questão:
Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasi leiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
Considere que há 2 novas amostras, cada uma com 21 alunos, dos estados 1 e 2 comentados acima. Os val ores das médias e desvios padrões destas 2 amostras são:
x_{1}^{-}=492 ; x_{2}^{-}=568 ; s_{1}=90 ; s_{2}=125.
Faça o teste de hipótese com \alpha=5 \% para determinar se a média das notas de matemática dos alunos do estado 2 no ENEM 2022 é superior à do estado 1. (3 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para testar, com nível de significância \alpha=5\%, se a média das notas de matemática dos alunos do estado 2 é superior à média do estado 1, usando duas amostras independentes (cada uma com 21 alunos) e sabendo que as notas seguem distribuição normal. Dados fornecidos:
n_{1}=21,\quad n_{2}=21
\bar{x}_{1}=492,\quad \bar{x}_{2}=568
s_{1}=90,\quad s_{2}=125
A pergunta específica: “a média do estado 2 é superior à do estado 1?” (teste unilateral à direita).

Passo 2

Escolha do método de teste: existem duas versões comuns do teste t para duas médias independentes — o teste com variâncias iguais (pooled) e o teste de Welch (variâncias possivelmente diferentes). Aqui temos s_{1}=90 e s_{2}=125, valores claramente diferentes; portanto é mais seguro usar o teste de Welch (que não assume igualdade de variâncias). Vou usar o teste de Welch. Explicando: o teste de Welch ajusta o denominador da estatística de teste para variâncias amostrais diferentes e usa uma fórmula aproximada para os graus de liberdade.

Passo 3

Formulação das hipóteses (unilaterais):
H_{0}:\\ \mu_{2}\le\mu_{1}
H_{1}:\\ \mu_{2}>\mu_{1}
onde \mu_{1} e \mu_{2} são as médias populacionais das notas dos estados 1 e 2, respectivamente. Rejeitamos H_{0} se a evidência amostral mostrar que \bar{x}_{2} é significativamente maior que \bar{x}_{1}.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste (Welch):
t=\frac{\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1}}{\sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x}_{1},\bar{x}_{2} são as médias amostrais;
  • s_{1}^{2},s_{2}^{2} são as variâncias amostrais ( s^{2}=s\cdot s);
  • n_{1},n_{2} são os tamanhos das amostras;
  • o denominador é a estimativa do erro padrão da diferença das médias quando as variâncias são diferentes.

Passo 5

Calcular o numerador (diferença das médias) e os termos do denominador:
\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1}=568-492=76
\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{90^{2}}{21}=\frac{8100}{21}=385{,}7142857\ldots
\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{125^{2}}{21}=\frac{15625}{21}=744{,}0476190\ldots
Somando:
\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=385{,}7142857+744{,}0476190=1129{,}7619048
Erro padrão (denominador):
\sqrt{1129{,}7619048}\approx 33{,}612
Portanto a estatística t é
t\approx\frac{76}{33{,}612}\approx 2{,}262.

Passo 6

Fórmula dos graus de liberdade aproximados (Welch):
\nu\approx\frac{\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{\dfrac{(s_{1}^{2}/n_{1})^{2}}{n_{1}-1}+\dfrac{(s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{n_{2}-1}}
Já temos A=\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=385{,}7142857 e B=\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=744{,}0476190. Calculemos as peças:
(A+B)^{2}=1129{,}7619048^{2}\approx 1{,}276{,}361{,}96
\frac{A^{2}}{n_{1}-1}=\frac{385{,}7142857^{2}}{20}\approx\frac{148{,}777{,}777{,}8}{20}\approx 7{,}438{,}775{,}51
\frac{B^{2}}{n_{2}-1}=\frac{744{,}0476190^{2}}{20}\approx\frac{553{,}019{,}068{,}0}{20}\approx 27{,}680{,}343{,}40
Somando o denominador:
\frac{A^{2}}{n_{1}-1}+\frac{B^{2}}{n_{2}-1}\approx 7{,}438{,}775{,}51+27{,}680{,}343{,}40=35{,}119{,}118{,}91
Logo
\nu\approx\frac{1{,}276{,}361{,}96}{35{,}119{,}118{,}91}\approx 36{,}34.
Arredondamos os graus de liberdade para \nu\approx36{,}3 (na prática usamos tabelas/soft com df aproximado).

Passo 7

Decisão pelo valor crítico e pelo p-valor:
  • Como é um teste unilateral à direita com \alpha=5\% e \nu\approx36, o valor crítico aproximadamente é
t_{crit}=t_{\nu,\,1-\alpha}\approx t_{36,\,0{,}95}\approx 1{,}69.
  • Nossa estatística calculada é t\approx 2{,}262, que é maior que 1{,}69. Portanto caímos na região de rejeição.
  • Para obter o p-valor (probabilidade de observar um t tão extremo ou mais, sob H_{0}), usamos a distribuição t com \nu\approx36. Aproximadamente:
\text{p-valor (unilateral)}\approx 0{,}015\\ (\text{aprox.})
Como \text{p-valor}\approx 0{,}015<\alpha=0{,}05, rejeitamos H_{0}.

Passo 8

Conclusão em linguagem simples e amistosa: há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que a média das notas de matemática do estado 2 é superior à do estado 1. Em termos práticos: a diferença observada de \,76 pontos na média é grande o bastante, considerando a variabilidade amostral, para ser considerada estatisticamente significativa.

Resposta

Estatística de teste: t\approx 2{,}26 com graus de liberdade aproximados \nu\approx 36{,}3. \nDecisão: rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=5\%. \nConclusão: há evidência significativa de que a média do estado 2 é superior à do estado 1 (p-valor unilateral \approx 0{,}015).

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