Questão:
Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasi leiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
Considere que há 2 novas amostras, cada uma com 21 alunos, dos estados 1 e 2 comentados acima. Os val ores das médias e desvios padrões destas 2 amostras são:
.
Faça o teste de hipótese com
para determinar se a média das notas de matemática dos alunos do estado 2 no ENEM 2022 é superior à do estado 1. (3 pontos)
Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasi leiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
Considere que há 2 novas amostras, cada uma com 21 alunos, dos estados 1 e 2 comentados acima. Os val ores das médias e desvios padrões destas 2 amostras são:
Faça o teste de hipótese com
Passo 1
O enunciado pede para testar, com nível de significância
, se a média das notas de matemática dos alunos do estado 2 é superior à média do estado 1, usando duas amostras independentes (cada uma com 21 alunos) e sabendo que as notas seguem distribuição normal. Dados fornecidos:
A pergunta específica: “a média do estado 2 é superior à do estado 1?” (teste unilateral à direita).
Passo 2
Escolha do método de teste: existem duas versões comuns do teste
para duas médias independentes — o teste com variâncias iguais (pooled) e o teste de Welch (variâncias possivelmente diferentes). Aqui temos
e
, valores claramente diferentes; portanto é mais seguro usar o teste de Welch (que não assume igualdade de variâncias). Vou usar o teste de Welch. Explicando: o teste de Welch ajusta o denominador da estatística de teste para variâncias amostrais diferentes e usa uma fórmula aproximada para os graus de liberdade.
Passo 3
Formulação das hipóteses (unilaterais):
onde
e
são as médias populacionais das notas dos estados 1 e 2, respectivamente. Rejeitamos
se a evidência amostral mostrar que
é significativamente maior que
.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste (Welch):
Explicando cada símbolo:
-
são as médias amostrais; -
são as variâncias amostrais ( ); -
são os tamanhos das amostras; - o denominador é a estimativa do erro padrão da diferença das médias quando as variâncias são diferentes.
Passo 5
Calcular o numerador (diferença das médias) e os termos do denominador:
Somando:
Erro padrão (denominador):
Portanto a estatística
é
Passo 6
Fórmula dos graus de liberdade aproximados (Welch):
Já temos
e
. Calculemos as peças:
Somando o denominador:
Logo
Arredondamos os graus de liberdade para
(na prática usamos tabelas/soft com df aproximado).
Passo 7
Decisão pelo valor crítico e pelo p-valor:
- Como é um teste unilateral à direita com
e , o valor crítico aproximadamente é
- Nossa estatística calculada é
, que é maior que . Portanto caímos na região de rejeição. - Para obter o p-valor (probabilidade de observar um
tão extremo ou mais, sob ), usamos a distribuição com . Aproximadamente:
Como
, rejeitamos
.
Passo 8
Conclusão em linguagem simples e amistosa: há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que a média das notas de matemática do estado 2 é superior à do estado 1. Em termos práticos: a diferença observada de
pontos na média é grande o bastante, considerando a variabilidade amostral, para ser considerada estatisticamente significativa.
Resposta
Estatística de teste:
com graus de liberdade aproximados
. \nDecisão: rejeita-se
ao nível
. \nConclusão: há evidência significativa de que a média do estado 2 é superior à do estado 1 (p-valor unilateral
).